一元二次方程知識點總結練習

一元二次方程的解法

【知識點歸納與總結】

一、概念：一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含乙個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程。

二、基本思路與方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：

1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接開平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解為x=m±.

例1．解方程（1）(3x+1)2=7　　　（2）9x2-24x+16=11

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c

將二次項係數化為1：x2+x=-

方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x2+x+()2=-+()2

方程左邊成為乙個完全平方式：(x+)2= 　當b2-4ac≥0時，x+=±

∴ x= (這就是求根公式)

例2．用配方法解方程　3x2-4x-2=0

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項係數a, b, c的值代入求根公式x= (b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程　 2x2-8x=-5

4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8　　(2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0　　　(4)x2-2(+)x+4 =0

小結：一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項係數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程是否有解。

配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：

換元法，配方法，待定係數法）。

例5．用適當的方法解下列方程。

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 　　（2）x2-5x+6=0

（3）2x2-3x=44）4x2-x+6=0

分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。

（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

（3）化成一般形式後利用公式法解。

（4）利用公式法解。

一元二次方程根的判別式

一、知識要點：

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式δ=b2-4ac。

δ>0時，方程有兩個不相等的實數根。

δ=0時，方程有兩個相等的實數根。

δ<0時，方程沒有實數根。

判斷2x2+x+4=0，4x2+3x-5=0，x2+5x+2=0，2x2+x+3=5有沒有實數根。

以上定理也可以逆向應用。在應用判別式之前，要把方程化為一般形式，以便正確找出a、b、c的值。

注意：（1）根的判別式是指δ=b2-4ac，不是δ= ，（2）使用判別式之前一定要先把方程變為一元二次方程的一般形式。

2.根的判別式有以下應用：

①不解一元二次方程，判斷根的情況。

②根據方程根的情況，確定待定係數的取值範圍。

③證明字母係數方程有實數根或無實數根。

注意：①如果說方程有實數根，即應當包括有兩個不等實根或有兩相等實根兩種情況，此時b2-4ac≥0，切勿丟掉等號。

②根的判別式b2-4ac的使用條件，是在一元二次方程中，而非別的方程中，因此，要注意隱含條件a≠0.

二、例題精講：

例1．不解方程，判斷下列方程的根的情況：

(1)2x2+3x-4=0　　(2)3x2+2=2x 　(3) x2+1=x　 (4)ax2+bx=0(a≠0) (5)ax2+c=0(a≠0)

例2．求證方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0沒有實數根。

例3．已知關於x的方程kx2-4kx+k-5=0有兩個相等的實數根，求k的值並解這個方程。

一元二次方程的應用

一、握手問題

1、某小組同學元旦互贈賀年卡一張，全組共贈賀年卡90張，這個小組有幾位同學？

2、某校開展足球比賽，每個班組織乙個班隊，在第一輪比賽中，每個班隊都要與其他班隊比賽一場，一共進行了120場比賽，這個學校共有多少個班級？

3、2023年中山市「光彩杯」中學生足球賽共進行了56場比賽（實行主客場制），問有多少球隊參加比賽？

二、面積問題

4、利用長為18公尺的牆的一邊，另三邊用長為35公尺的竹籬笆圍成乙個面積為150平方公尺的長方形養雞場。求雞場的長與寬各多少？

5、如圖所示要建乙個面積為150m2的長方形養雞場,為了節約材料,雞場的一邊靠著原有的一條牆,牆長為25m,另三邊用竹籬笆圍成,已知籬笆總長為35m.

(1)求雞場的長與寬各為多少公尺?

(2)題中的牆長度25m對題目的解起著怎樣的作用?

6、學校課外生物小組的試驗園地是長18公尺、寬12公尺的矩形，為便於管理，現要在中間開闢一橫兩縱三條等寬的小道（如圖），要使種植面積為196平方公尺，求小道的寬．

7、如圖所示,某小區規劃在乙個長為40公尺,寬為26公尺的矩形場地上修建三條同樣寬的道路,使其中兩條與平行,另一條與垂直,其餘部分種草,若使每一塊草坪的面積都為144公尺2,求道路的寬度?

8、在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，製成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，求金色紙邊的寬.

9、把乙個正方形的一邊增加2cm，另一邊增加1cm，所得的長方形面積比正方形面積增加14cm2,那麼原來正方形的邊長應是多少？

10、如圖,從一塊長80厘公尺，寬60厘公尺的鐵片中間截去乙個小長方形，使剩下的長方框四周的寬度一樣，並且小長方形的面積是原來鐵片面積的一半，求這個寬度.

11、牆的一邊，再用13公尺長的鐵絲擋三邊圍成乙個面積是20平方公尺的長方形，問長方形長和寬各是多少才能剛好合適？

三、體積問題：

12、有一塊長25厘公尺、寬15厘公尺的長方形鐵片，如果在鐵成的四個角上截去四個相同的小正方形，然後把四邊摺起來，做成乙個底面積為231平方厘公尺的無蓋長方體盒子，求截去的小正方形的邊長應是多少厘公尺？

13、如圖22.2.1，一塊長和寬分別為60厘公尺和40厘公尺的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成乙個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方公尺.

求截去正方形的邊長.

四、增長率問題：

14、某化服廠去年4月份生產化肥500噸，因管理不善，5月份的化肥產量減少了10%，從6月份起強化了管理，產量逐月上公升，7月份產量達到648噸，求該廠6、7月份的月平均增長率。

15、某商廈10月份的營業額是50萬元，第四季度的總營業額是182萬元，後兩個月中，每月的平均增長率是多少？

16、某商店四月份電扇的銷售量為500臺，隨著天氣的變化，六月份電扇的銷售量為720臺，問五月份、六月份平均每月電扇銷售量的增長率是多少？

17、某商店4月份銷售額為50萬元,第二季度的總銷售額為182萬元,若5、6兩個月的月增長率相同,求月增長率.

18、某電腦公司2023年的各項經營收入中，經營電腦配件的收入為600萬元，佔全年經營總收入的40%，該公司預計2023年經營總收入要達到2160萬元，且計畫從2023年到2023年，每年經營總收入的年增長率相同，問2023年預計經營總收入為多少萬元？

19、某型號的手機連續兩次降價，每個售價由原來的1 185元降到了580元.求平均每次降價的百分率。

20、某工廠計畫經過兩年的時間將某種產品的產量從每年144萬台提高到169萬台，求每年平均增長的百分率。

五、利潤問題：

21、將進貨單價為40元的某種商品按50元售出時，就能賣出500個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？這時應進貨多少個？

22、將進貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個.已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，問為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？這時應進貨多少個？

23、某商店進了一批服裝，進價為每件50元.按每件60元**時，可銷售800件；若單價每提高1元，則其銷售量就減少20件.今商店計畫獲利12000元，問銷售單價應定為多少元？

此時應進多少件服裝？

24、某百貨商店服裝櫃在銷售中發現：「寶樂」牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了迎接「六·一」國際兒童節，商場決定採取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存.

經市場調查發現：如果每件童裝每降價4元，那麼平均每天就可多售出8件.要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那麼每件童裝應降價多少元？

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