平面向量
●重難點突破
1.向量加法的運算及其幾何意義。
2.對向量加法定義的理解。
3.向量的減法運算及其幾何意義。
4.對向量減法定義的理解。
5.實數與向量積的意義。
6.實數與向量積的運算律。
7.兩個向量共線的等價條件及其運用。
8.對向量共線的等價條件的理解運用。
●每課一記
一、求若干個向量的和的模(或最值)的問題通常按下列步驟進行：
(1)尋找或構造平行四邊形，找出所求向量的關係式；
(2)用已知長度的向量表示待求向量的模，有時還要利用模的重要性質。
二、1. 向量的加法定義
向量加法的定義：如圖3，已知非零向量a.b，在平面內任取一點a，作[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]=a，[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=b，則向量[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]+[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]。
求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。
2. 向量加法的法則：
（1）向量加法的三角形法則
在定義中所給出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法則。運用這一法則時要特別注意「首尾相接」，即第二個向量要以第乙個向量的終點為起點，則由第乙個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型。
（2）平行四邊形法則
向量加法的平行四邊形法則
如圖4，以同一點o為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則以o為起點的對角線[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]就是a與b的和。我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。
3. 向量a，b的加法也滿足交換律和結合律：
①對於零向量與任一向量，我們規定a+0=0+a=a。
②兩個數相加其結果是乙個數，對應於數軸上的乙個點；在數軸上的兩個向量相加，它們的和仍是乙個向量，對應於數軸上的一條有向線段。
③當a，b不共線時，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形兩邊之和大於第三邊)；
當a，b共線且方向相同時，|a+b|=|a|+|b|；
當a，b共線且方向相反時，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中當向量a的長度大於向量b的長度時，|a+b|=|a|-|b|；當向量a的長度小於向量b的長度時，|a+b|=|b|-|a|。
一般地，我們有|a+b|≤|a|+|b|。
④如圖5，作[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=a，[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]=b，以ab.
ad為鄰邊作abcd，則[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=b，[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]=a。
因為[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]+[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]=a+b，[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]+[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]=b+a，所以a+b=b+a。
如圖6，因為[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]+[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]=([', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]+[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}])+[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]=(a+b)+c，
[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]+[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]=[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]+([', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]+[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}])=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。
綜上所述，向量的加法滿足交換律和結合律。
特殊與一般，歸納與模擬，數形結合，分類討論，特別是通過知識遷移模擬獲得新知識的過程與方法。
三、用向量法解決物理問題的步驟為：先用向量表示物理量，再進行向量運算，最後回扣物理問題，解決問題。
四、向量也有減法運算。
由於方向反轉兩次仍回到原來的方向，因此a和-a互為相反向量。
於是-(-a)=a。
我們規定，零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。
所以，如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0。
1. 平行四邊形法則
圖1如圖1，設向量[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=b，[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]=a，則[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]=-b，由向量減法的定義，知[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=a+(-b)=a-b。
又b+[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=a，所以[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]=a-b。
由此，我們得到a-b的作圖方法。
圖22. 三角形法則
如圖2，已知a、b，在平面內任取一點o，作[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]=a，[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]=b，則[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]=a-b，即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義。
（1）定義向量減法運算之前，應先引進相反向量。
與數x的相反數是-x類似，我們規定，與a長度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，記作-a。
（2）向量減法的定義。我們定義a-b=a+(-b)，
即減去乙個向量相當於加上這個向量的相反向量。
規定：零向量的相反向量是零向量。
(3)向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，是數形結合思想的重要體現。
五、我們規定實數λ與向量a的積是乙個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，它的長度與方向規定如下：
(1)|λa|=|λ||a|；
(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反。
由(1)可知，λ=0時，λa=0。
根據實數與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律。
實數與向量的積的運算律
設λ、μ為實數，那麼
特別地，我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。
向量共線的等價條件是：如果a(a≠0)與b共線，那麼有且只有乙個實數λ，使b=λa。共線向量可能有以下幾種情況：
(1)有乙個為零向量；
(2)兩個都為零向量；
(3)同向且模相等；
(4)同向且模不等；
(5)反向且模相等；
(6)反向且模不等。
數與向量的積仍是乙個向量，向量的方向由實數的正負及原向量的方向確定，大小由|λ|·|a|確定。它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小。向量的平行與直線的平行是不同的，直線的平行是指兩條直線在同一平面內沒有公共點；而向量的平行既包含沒有交點的情況，又包含兩個向量在同一條直線上的情形。
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算。對於任意向量a、b，以及任意實數λ、[', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]、[', 'altimg':
'd73619284ad663b400df3234b2f0642c.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]，恒有λ([', 'altimg': 'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]a±[', 'altimg': 'd73619284ad663b400df3234b2f0642c.
png', 'w': '23', 'h': '27'}]b)=λ[', 'altimg':
'a012437d40b46ddd174a1cf19101100f.png', 'w': '23', 'h':
'27'}]a±λ[', 'altimg': 'd73619284ad663b400df3234b2f0642c.png', 'w':
'23', 'h': '27'}]b。
●經典例題
例1 化簡：
(1)+
(2)++
(3)++++
解：(1)+=+=
(20(3
0解析：要善於運用向量的加法的運算法則及運算律來求和向量。
例2 若=a+b，=a-b
①當a.b滿足什麼條件時，a+b與a-b垂直？
②當a.b滿足什麼條件時，|a+b|=|a-b|？
③當a.b滿足什麼條件時，a+b平分a與b所夾的角？
④a+b與a-b可能是相等向量嗎？
解析：如圖6，用向量構建平行四邊形，其中向量、恰為平行四邊形的對角線。
由平行四邊形法則，得
=a+b，=-=a-b。
由此問題就可轉換為：
①當邊ab、ad滿足什麼條件時，對角線互相垂直？(|a|=|b|)
②當邊ab、ad滿足什麼條件時，對角線相等？(a.b互相垂直)
③當邊ab、ad滿足什麼條件時，對角線平分內角？(a.b相等)
④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能，因為對角線方向不同)
解析：靈活的構想，獨特巧妙，數形結合思想得到充分體現。由此我們可以想到在解決向量問題時，可以利用向量的幾何意義構造幾何圖形，轉化為平面幾何問題。
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