（理）專科和高起本上學期
《高等數學》課程學習指導資料
本課程學習指導資料根據該課程教學大綱的要求，參照現行採用教材《高等數學》（上）(傅英定，鐘守銘，電子科技大學出版社，2023年2月)以及課程學習光碟，並結合遠端網路業餘教育的教學特點和教學規律進行編寫，適用於工科類各專業專科和高起本上學期學生。
第一部分課程的學習目的及總體要求
一、課程的學習目的
《高等數學》是大學理、工、醫、農、經、管類的一門十分重要的公共基礎課。數學是研究現實中數量關係與空間形式的科學，是自然科學的基礎和當代技術發展的源泉。當代科學技術的發展對數學知識的需求越來越廣、越來越緊密，在高等理工科院校培養高素質人才的過程中，《高等數學》是一門必備的基礎理論課程。
在本課程的學習中，要使學生獲得必要的高等數學知識，掌握基本理論，還要在數學的抽象性、邏輯性和嚴密性方面受到必要的薰陶和訓練，掌握數學的思想方法，提高數學素養。具有良好的數學基礎才能學好專業知識，才能有掌握現代科學技術、從事科學研究的基本能力。
二、課程的總體要求
本課程的主要內容為：函式、極限與連續；一元函式微分學及其應用；一元函式積分法及其應用；微分方程。本課程研究的基本物件是函式，函式反映了變數之間的依賴關係，是現實生活與自然科學各領域裡所抽象出來的數學模型；微積分是研究函式、揭示其變化規律的有力手段，極限則是微積分學的理論基礎；微分方程為函式關係式的建立提供了更為廣闊的舞台。
課程內容具有較強的邏輯性與抽象性也有極廣泛的應用性。學習本課程要掌握其主要內容，理解基本概念和基本理論，學會分析問題解決問題的基本方法；了解各部分知識的結構及知識的內在聯絡；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確、簡捷、熟練地計算；能綜合運用所學知識分析並解決簡單的實際問題。
要學好本課程，除了課堂上的學習和訓練之外，還需要課後及時複習鞏固、結合教學內容做一定數量的習題。這是學習中十分重要的環節。只有通過練習才能達到對其概念、定理、法則的理解和認識，才能掌握所學的知識。
第二部分課程學習的基本要求及重點難點內容分析
第一章函式、極限、連續
一、本章學習要求
1. 理解函式的概念。
2. 了解函式奇偶性、單調性、週期性和有界性。
3. 理解復合函式的概念，了解反函式的概念。
4. 掌握基本初等函式的性質及其圖形。
5. 會建立簡單實際問題中的函式關係式。
6. 理解極限的概念。
7. 了解極限的性質。
8. 掌握極限四則運算法則。
9. 掌握兩個重要極限。
10 .了解無窮小、無窮大、以及無窮小的階的概念，會用等價無窮小求極限。
11. 理解函式在一點連續的概念。
12. 了解間斷點的概念，並會判斷間斷點的型別。
13. 了解初等函式的連續性和閉區間上連續函式的性質（介值定理和最大、最小值定理）。
二、本章重點難點分析
1. 重點：
（1）函式、基本初等函式、復合函式、初等函式、分段函式的概念；基本初等函式的性質。
（2）極限的概念；極限的四則運算；極限的計算方法。
（3）兩個重要極限。
（4）無窮小的概念；等價無窮小的應用。
（5）函式連續的概念；閉區間上連續函式的性質。
2. 難點：
（1）分段函式、復合函式；函式的有界性；函式關係式的建立。
（2）極限的精確定義；極限的性質；用變數代換的方法求極限（復合函式的極限），冪指函式的極限。
（3）函式連續性的概念；閉區間上連續函式的性質及應用。
三、本章典型例題分析
例題1。
分析這是求復合函式表示式的題目，關鍵是要弄清復合關係。函式的復合，只需要從內向外逐層將函式代入即可。
解（1）
（2）例題2 設.
分析 f(x)是分段函式，要根據x的取值範圍選擇對應的表示式。
解.例題3 求極限.
分析當時，這是無窮項的乘積，不能直接使用極限的運算法則，要先將數列化簡，使之成為有限項的運算，才能使用極限的四則運算法則.
解原式.
例題4 求極限
分析這是乙個求分式函式極限的問題，但分母的極限為零，不能直接使用商的極限運算法則，要先消去分母中的「零因子」，可將分子有理化。
解原式例題5 求極限.
分析極限的運算法則中，要用乘積的極限等於極限的乘積的法則，前提是各因子的極限必須存在，此題不能用，因為不存在，正確的做法是：
解法一 ，而，是有界變數，故
.解法二
由於，故原式=0.
例題6 求極限
分析分母的極限為零，不能直接用商的極限運算法則.可有理化分子，也可用等價無窮小.
下面用等價無窮小作.解.
例題7 求極限.
分析這是型的極限，也不能直接用商的極限運算法則.由於x不是無窮小，所以不能直接用等價無窮小替換，可先作變數代換再用等價無窮小替換.解
例題8 求極限.
分析這是型的極限，先作恒等變形再用等價無窮小.
解.另解原式
例題9分析這是型冪指函式的極限，可利用公式：
解注意: 切忌用.
例題10 求極限
分析這也是型冪指函式的極限，與上例類似求解.
解原式.
例題11 已知(b為非零常數)，求a和b之值.
解 b為非零常數, 則必有
例題12
.分析這是乙個左右分段的函式，在分段點需要討論左、右連續.解，
例題13 求的間斷點, 並判別其型別.
分析函式無定義的點都是間斷點，但在x=0處需討論左右連續性.
解 f(x) 在 x = -1, 0, 1 均沒定義, 是間斷點.
x = –1 為第一類可去間斷點；
x = 1 為第二類無窮間斷點；
，x = 0 為第一類跳躍間斷點.
例題13 設函式在 x = 0 連續 , 求 a 與 b 的值.
分析由函式在分段點的左右連續性建立等式，可求出 a 與 b 的值.解，，
f(x)在x = 0連續, 有
例題14
分析只需證明函式在對應區間上有零點.
證明.討論：
由零點定理知,存在
綜上,四、本章作業
習題1-1 a: 1.2.
3.5. 6.
7.8(1),(3),(5).9(2),(4).
10 (1),(3),(5).11(1),(3),(5). 12.
b: 5.6.
習題1-2a: 1(1),(3),(5),(7). 2. b: 1. 2.
習題1-3 a: 1. b: 1. 2 .
習題1-4 a: 1. 2. 3(1),(2).b: 1.
習題1-5 a: 2(2),(4),(6),(8). 3(1),(3),(5). 4(1),(3). 5(1),(3). b: 1.
習題1-6 a: 1(1),(3),(5),(7). 2(1),(3),(5),(7). b: 1. 2.
習題1-7 a: 2. 3(2),(4),(6),(8). 4. b: 2. 4.
習題1-8 a: 2(2),(4),(6). 3(2),(4). 4. b: 2. 4.
習題1-9 a: 1. 3. b: 2.
習題1-10 a: 2. 3. 4. 5.
第一章複習題1. 2(2),(4),(6),(8),(10). 3. 5. 7. 9.
第二章導數及微分
一、本章學習要求
1. 理解導數和微分的概念，理解導數的幾何意義以及函式的可導性與連續性之間的關係.
2. 會用導數描述一些物理量.
3. 掌握導數的四則運算法則和復合函式的求導法，掌握基本初等函式的求導公式,了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性.
4. 了解高階導數的概念.
5. 掌握初等函式一階、二階導數的求法.
6. 會求隱函式和引數式所確定的函式的一階、二階導數，會求反函式的導數.
二、本章重點難點分析
1. 重點：
（1）導數與微分的概念。
（2）基本求導公式；導數的四則運算與復合運算。
（3）隱函式與引數式函式導數的計算。
2. 難點：
（1）導數與微分的概念；分段函式在分段點的導數。
（2）復合函式的導數、反函式的導數，高階導數。
（3）一階微分形式的不變性。
三、本章典型例題分析
例題1若函式f (x)在x=0處連續，
分析這是按定義求導數的問題，要求得f (x)在x=0處的導數，必須先求得函式值f (0)，由題設條件這是容易得到的.
解由 f (x)在x=0處連續可得.
. 所以f (x)在x=0處可導.
例題2.
分析由於，只需將所求極限式變形，利用導數的定義來作計算.
解.例題3設f(x)是定義在(-∞,+∞)上的函式,
.分析只需證明.
證明在所給等式中取x = y = 0, 得，則
.例題4設曲線y=f(x)在原點與y=sinx相切，試求極限
分析曲線y=f(x)在原點與y=sinx相切，說明f(x)在原點可導並且與y=sinx有相同的函式值與導數值，所以可利用導數的定義來求極限.
解因為曲線y=f(x)在原點與y=sinx相切，
例題5分析這是復合函式的求導問題，復合函式求導要弄清函式的復合關係，從外向內逐層求導.
解例題6分析這是復合函式的求導，引入中間變數會使計算更為簡潔.解則.
例題7確定a、b 的值，使函式
在內處處可導，並求它的導函式.
分析利用函式在分段點出的連續性與可導性可求得待定常數a、b；分段函式在分段點的導數要用定義求.
解因為函式 f(x)在 x=0 處可導，則必連續, 有
例題8分析冪指函式求導可用對數求導法或轉化為指數函式求導；求微分可利用導數與微分的關係作計算，也可利用一階微分形式不變性來作計算.
解法一，方程兩邊對x 求導，得
解法二利用一階微分形式不變性，在的兩邊求微分得
例題9分析這是隱函式求導問題，可先取對數將關係式化簡再求導.
解方程兩邊對x 求導，得
.例題10設函式y=y(x)由引數方程確定，求及函式的曲線在對應於t=0點處的切線方程。
分析利用引數式函式的求導公式作計算；求切線方程要先求切點座標.
解，.，.
.四、本章作業
習題2-1 a: 2. 3(2),(4),(6). 4. 5. 6. b: 1. 2.
習題 2-2 a: 2(雙號). 3(單號). 4(1),(3). 7 (雙號). 8 (雙號). b: 1. 2. 3.
2 高等數學 理 半期考試
注意事項 1 滿分100分。要求捲麵整潔 字跡工整 無錯別字。2 考試必須將姓名 班級 學號完整 準確 清楚地填寫在試卷規定地方，否則視為廢卷。3 考試必須在簽到單上簽到，若出現遺漏，後果自負。4 如有答題紙，答案請全部填寫在答題紙上，否則不給分 考完請將答題紙和試卷一同交回，否則不給分。試題一 填...
高等數學基礎複習指導
二 綜合練習 一 單項選擇題 下列各函式對中，中的兩個函式相等 設函式的定義域為，則函式的圖形關於 座標原點 對稱 當時，變數 是無窮小量 設在點處可導，則 函式在區間內滿足 單調上公升 若，則 若的乙個原函式是，則 下列無窮積分收斂的是 二 填空題 函式的定義域是 函式的間斷點是 若函式，在處連續...
高等數學總複習指導 1
本學期高等數學課程的內容是一元函式微積分 級數和常微分方程，共8章內容。同學們學習時應抓住重點，圍繞基本概念和基本方法進行訓練和學習，下面逐章指出各章的重點，並結合重點給出相應的典型例題，希望能對大家的學習提供一定的幫助。第一章函式 本章重點 1 函式概念及其性質 理解函式的概念，了解決定函式的要素...