（1）由，知
下面用倍差法（也稱為錯位相減法）求上式括號內的值。記
兩式相減，得
由，知，則，故
從而也可用無窮等比數列各項和公式（見教科書91頁閱讀材料），推導如下：
記相減，
則還可用導數公式，推導如下：
上式中令，則得
（2）為簡化運算，利用性質來推導（該性質的證明，可見本刊6頁）。可見關鍵是求。
對於上式括號中的式子，利用導數，關於q求導：，並用倍差法求和，有
則，因此
利用上述兩個結論，可以簡化幾何分布一類的計算問題。
例1. 乙個口袋內裝有5個白球和2個黑球，現從中每次摸取乙個球，取出黑球就放回，取出白球則停止摸球。求取球次數的數學期望與方差。
解：每次從袋內取出白球的概率，取出黑球的概率。的取值為1，2，3，……，有無窮多個。我們用表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此
。可見服從幾何分布。所以
例2. 某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率為p（0解：射手射擊次數的可能取值為1，2，…，9，10。
若，則表明他前次均沒擊中目標，而第k次擊中目標；若k＝10，則表明他前9次都沒擊中目標，而第10次可能擊中也可能沒擊中目標。因此的分布列為
用倍差法，可求得
幾何分布的定義以及期望與方差的證明
幾何分布 geometric distribution 是離散型概率分布。其中一種定義為 在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率。詳細的說，是 前k 1次皆失敗，第k次成功的概率。公式 它分兩種情況 1.得到1次成功而進行，n次伯努利實驗，n的概率分布，取值範圍為 1，2，3，2.m n...
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由平方差公式的幾何證明談代數
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