幾何分布的定義以及期望與方差的證明

幾何分布（geometric distribution）是離散型概率分布。其中一種定義為：在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率。

詳細的說，是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。

公式：它分兩種情況：

1. 得到1次成功而進行，n次伯努利實驗，n的概率分布，取值範圍為『1，2，3，...』;

2. m = n-1次失敗，第n次成功，m的概率分布，取值範圍為『0，1，2，3，...』.

由兩種不同情況而得出的期望和方差如下：, ;

, 。概率為p的事件a，以x記a首次發生所進行的試驗次數，則x的分布列：

， 具有這種分布列的隨機變數x，稱為服從引數p的幾何分布，記為x~geo(p)。

幾何分布的期望

，方差。高中數學教科書新版第三冊（選修ii）比原來的修訂本新增加隨機變數的幾何分布，但書中只給出了結論：（1），（2），而未加以證明。本文給出證明，並用於解題。

（1）由，知

下面用倍差法（也稱為錯位相減法）求上式括號內的值。記

兩式相減，得

由，知，則，故

從而也可用無窮等比數列各項和公式（見教科書91頁閱讀材料），推導如下：

記相減，

則還可用導數公式，推導如下：

上式中令，則得

（2）為簡化運算，利用性質來推導（該性質的證明，可見本刊6頁）。可見關鍵是求。

對於上式括號中的式子，利用導數，關於q求導：，並用倍差法求和，有

則，因此

利用上述兩個結論，可以簡化幾何分布一類的計算問題。

例1. 乙個口袋內裝有5個白球和2個黑球，現從中每次摸取乙個球，取出黑球就放回，取出白球則停止摸球。求取球次數的數學期望與方差。

解：每次從袋內取出白球的概率，取出黑球的概率。的取值為1，2，3，……，有無窮多個。我們用表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此

。可見服從幾何分布。所以

例2. 某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率為p（0解：射手射擊次數的可能取值為1，2，…，9，10。

若，則表明他前次均沒擊中目標，而第k次擊中目標；若k＝10，則表明他前9次都沒擊中目標，而第10次可能擊中也可能沒擊中目標。因此的分布列為

用倍差法，可求得

幾何分布的定義以及期望與方差的證明

幾何分布 geometric distribution 是離散型概率分布。其中一種定義為 在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率。詳細的說，是 前k 1次皆失敗，第k次成功的概率。公式 它分兩種情況 1.得到1次成功而進行，n次伯努利實驗，n的概率分布，取值範圍為 1，2，3，2.m n...

幾何分布的期望與方差的證明

1 由，知 下面用倍差法 也稱為錯位相減法 求上式括號內的值。記 兩式相減，得 由，知，則，故 從而也可用無窮等比數列各項和公式 見教科書91頁閱讀材料 推導如下 記相減，則還可用導數公式，推導如下 上式中令，則得 2 為簡化運算，利用性質來推導 該性質的證明，可見本刊6頁 可見關鍵是求。對於上式括...

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