1．某品牌汽車的4s店，對最近100位採用分期付款的購車者進行了統計，統計結果如下表所示：已知分3期付款的頻率為0.2，且4s店經銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款其利潤為1.
5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元．用η表示經銷一輛汽車的利潤.
(1)若以頻率作為概率，求事件a：「購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位採用分3期付款」的概率p(a)；
(2)求η的分布列及其數學期望e(η)．
2．如圖，a地到火車站共有兩條路徑l1和l2，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：
現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用於趕往火車站．
(1)為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？
(2)用x表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對(1)的選擇方案，求x的分布列和數學期望．
3．某省示範高中為了推進新課程改革，滿足不同層次學生的需求，決定從高一年級開始，在每週的周
一、週三、周五的課外活動期間同時開設數學、物理、化學、生物和資訊科技輔導講座，每位有興趣的同學可以在期間的任何一天參加任何一門科目的輔導講座，也可以放棄任何一門科目的輔導講座．(規定：各科達到預先設定的人數時稱為滿座，否則稱為不滿座)統計資料表明，各學科講座各天的滿座的概率如下表：
(1)求數學輔導講座在周
一、週三、周五都不滿座的概率；
(2)設週三各輔導講座滿座的科目數為ξ，求隨機變數ξ的分布列和數學期望．
4．某城市有甲、乙、丙3個旅遊景點，一位遊客遊覽這3個景點的概率分別是0.4、0.5、0.
6，且遊客是否遊覽哪個景點互不影響，用x表示該遊客離開該城市時遊覽的景點數與沒有遊覽的景點數之差的絕對值．
(1)求x的分布列及期望；
(2)記「f(x)＝2xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使f(x0)＝0」為事件a，求事件a的概率．
答案：1、解析 (1)由題意可知「購買該品牌汽車的3位顧客中有1位採用分3期付款」的概率為0.2，所以
p(a)＝0.83＋c×0.2×(1－0.2)2＝0.896.
(2)由＝0.2得a＝20，
∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10.
記分期付款的期數為ξ，依題意得：
p(ξ＝1)＝＝0.4，p(ξ＝2)＝＝0.2，p(ξ＝3)＝＝0.2，p(ξ＝4)＝＝0.1，
p(ξ＝5)＝＝0.1.
由題意知η的可能取值為：1,1.5,2(單位：萬元)．
p(η＝1)＝p(ξ＝1)＝0.4，
p(η＝1.5)＝p(ξ＝2)＋p(ξ＝3)＝0.4；
p(η＝2)＝p(ξ＝4)＋p(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.
∴η的分布列為：
∴η的數學期望e(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(萬元)．
2、解析 (1)ai表示事件「甲選擇路徑li時，40分鐘內趕到火車站」，bi表示事件「乙選擇路徑li時，50分鐘內趕到火車站」，i＝1,2.
用頻率估計相應的概率可得
p(a1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，p(a2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵p(a1)＞p(a2)，∴甲應選擇l1；
p(b1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，p(b2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵p(b2)＞p(b1)，∴乙應選擇l2.
(2)a，b分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，
由(1)知p(a)＝0.6，p(b)＝0.9，又由題意知，a，b獨立，
∴p(x＝0)＝p()＝p()p()＝0.4×0.1＝0.04，
p(x＝1)＝p(b＋a)＝p()p(b)＋p(a)p()
＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，
p(x＝2)＝p(ab)＝p(a)p(b)＝0.6×0.9＝0.54.
∴x的分布列為
∴e(x)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.
3、解析 (1)設數學輔導講座在周
一、週三、周五都不滿座為事件a，
則p(a)＝＝.
(2)ξ的可能取值為0,1,2,3,4,5.
p(ξ＝0)＝4×＝；
p(ξ＝1)＝c××3×＋4×＝；
p(ξ＝2)＝c×2×2×＋c××3×＝；
p(ξ＝3)＝c×3××＋c×2×2×＝；
p(ξ＝4)＝4×＋c×3××＝；
p(ξ＝5)＝4×＝.
所以，隨機變數ξ的分布列如下：
故e(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
4、解析 (1)設遊客遊覽甲、乙、丙景點分別記為事件a1、a2、a3，已知a1、a2、a3相互獨立，且p(a1)＝0.4，p(a2)＝0.5，p(a3)＝0.
6.遊客遊覽的景點數可能取值為0、1、2、3，相應的遊客沒有遊覽的景點數可能取值為3、2、1、0，
所以x的可能取值為1、3.則p(x＝3)＝p(a1a2a3)＋p( )
＝p(a1)·p(a2)·p(a3)＋p()·p()·p()
＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.
p(x＝1)＝1－0.24＝0.76.
所以分布列為：
∴e(x)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.
(2)∵f(x)＝2xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使得f(x0)＝0，
∴f(－3)·f(－1)≤0，即(－6x＋4)(－2x＋4)≤0，
解得：≤x≤2.
∴p(a)＝p＝p(x＝1)＝0.76.
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