1. 你能證明它們嗎（三）
一.學習目標:
1．知識目標：
理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30角的直角三角形性質及其證明，並能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。
2．能力目標：
①經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發展抽象思維．
②經歷實際操作，探索含有30角的直角三角形性質及其推理證明過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理的能力；
③在具體問題的證明過程中，有意識地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學生的能力。
3．情感與價值觀要求
①積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知慾．
②在數學活動中獲得成功的體驗，鍛鍊克服困難的意志，建立自信心.
教學重點
①等邊三角形判定定理的發現與證明.
②含30°角的直角三角形的性質定理的發現與證明.
4．教學難點
①含30°角的直角三角形性質定理的探索與證明.
②引導學生全面、周到地思考問題.
二.教學過程:
學具準備：兩個帶30度角的三角板。
1.提出問題，引入新課
提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質呢？又如何判別乙個三角形是等腰三角形呢？從而引入新課。
估計學生會這樣回答：
[生]等腰三角形已經有兩邊分別相等，所以我認為只要腰和底相等，等腰三角形就成了等邊三角形．
[生]等邊三角形的三個內角都相等，且分別都等於60°．我認為等腰三角形的三個內角都等於60°，等腰三角形就是等邊三角形了．
[生]我不同意這位同學的看法．因為任何乙個三角形滿足這個條件都是等邊三角形．根據等角對等邊，三個內角都是60°，所以它們所對的邊一定相等．但這一問題中「已知是等腰三角形，滿足什麼條件時便是等邊三角形」，我覺得他給的條件太多，浪費!
[師]給三個角都是60°，這個條件的確有點浪費，那麼給什麼條件不浪費呢?下面同學們可在小組內交流自己的看法．
(2)你認為有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結論嗎?把你的證明思路與同伴交流．
(教師應給學生自主探索、思考的時間)
2.自主探索
學生自主**等腰三角形成為等邊三角形的條件，並交流匯報各自的結論，教師適時要求學生給出相對規範的證明，概括出等邊三角形的判別條件，並引導學生總結出下表：
由於有了第1環節的鋪墊，學生多能**出：
頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形；
底角是60°的等腰三角形是等邊三角形；
三個角都相等的三角形是等邊三角形；
三條邊都相等的三角形是等邊三角形。
對於前兩個定理的形式相近，教師可以進一步提出要求：能否用更簡捷的語言描述這個結論嗎?從而引導學生得出：有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
在學生得出這些結論的基礎上，教師注意引導學生說明道理，給出證明的思路，選擇部分命題，給與嚴格的證明，由於「有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形」的證明需要分類討論，因此，可以以此問題作為對學生證明的要求，並與同伴交流證明思路．並要求學生思考證明中的注意事項，從而點明其中的分類思想，提請學生注意：思考問題要全面、周到．
3.實際操作提出問題
提出問題：我們還學習過直角三角形，今天我們研究乙個特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：
用含30°角的兩個三角尺，你能拼成乙個怎樣的三角形?能拼出乙個等邊三角形嗎?
在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關係，有哪些線段存在倍數關係，你能得到什麼結論？說說你的理由．
實踐:讓學生經歷拼擺三角尺的活動，發現結論：在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半．
總結發現：學生一般可以得出下面兩種圖形：其中第1個圖形是等邊三角形，對於該圖學生也可以得出bd=ab，從而得出：
在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半．
注意，教學過程中，教師應注意引導學生說明為什麼所得到的三角形是等邊三角形。具體的說明過程可以如下：
方法1：因為△abd≌acd，所以ab=ac．又因為rt△abd中，∠bad=60°，所以∠abd=60°，有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
方法2：圖(1)中，∠b=∠c=60，∠bac=∠bad+∠cad=30°+30°=60°，所以∠b=∠c=∠bac=60°，即△abc是等邊三角形．
如果學生不能很快得出30度所對直角邊是斜邊一半，教師可以在圖上標出各個字母，並要求學生思考其中哪些線段直接存在倍數關係，並在將三角板分開，思考從中可以得到什麼結論。然後在學生得到該結論的基礎上，再證明該定理。
定理：在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半．
已知：如圖，在rt△abc中，∠c=90°，∠bac=30°．
求證：bc=ab．
分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發，延長bc至d，使cd=bc，連線ad．
證明：在△abc中，∠acb=90°，∠bac=30°∠b=60°.
延長bc至d，使cd=bc，連線ad(如圖所示)．
∵∠acb=90°∴∠acb=90°
∵ac=ac，∴△abc≌△adc(sas)．
∴ab=ad(全等三角形的對應邊相等)．
∴△abd是等邊三角形(有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)．
∴bc=bd=ab．
4.變式訓練
思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的銳角等於30°嗎?如果是，請你證明它．
在師生分析的基礎上，給出證明：
已知：如圖，在rt△abc中，∠c=90°，bc=ab．
求證：∠bac=30°
證明：延長bc至d，使cd=bc，連線ad.
∵∠acb=90°，∴∠acd=90°．
又∵ac=ac．
∴△acb≌△acd(sas)．
∴ab=ad．
∵cd=bc，∴bc=bd．
又∵bc=ab，∴ab=bd．
∴ab=ad=bd，
即△abd是等邊三角形．
∴∠b=60°．在rt△abc中，∠bac=30°．
[例題]等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高cd的長.
分析：觀察圖形可以發現在rt△adc中，ac=2a而∠dac是△abc的乙個外角，而∠dac=×15°=30°，根據在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出cd．
解：∵∠abc=∠acb=15°
∴∠dac=∠abc+∠acb=15°+15°=30°
∴cd=ac=×2a= a(在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半)．
活動目的：在例題求解中鞏固新知。
5. 課時小結
讓學生對課堂學習進行小結，注意總結具體的知識、結論，以及解決問題的方法和蘊含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。
6.布置作業
p12 習題1.3 1,2，3。
三、教學反思
本節課，難點在於**兩個定理：「在三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的銳角等於30°」和「直角三角形中，30°所對的直角邊等於斜邊的一半」，由於設計了三角板操作的實踐活動，有效地突破了難點，因而，課堂學生思維非常靈活，方法多樣，取得較好的效果。
你能證明它們嗎
學生姓名班級年級科目 複習 1 什麼是等腰三角形？2 你會畫乙個等腰三角形嗎？並把你畫的等腰三角形栽剪下來。3 試用摺紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質？在 證明 一 一章中，我們已經證明了有關平行線的一些結論，運用下面的公理和已經證明的定理，我們還可以證明有關三角形的一些結論。同學們和我一起來回憶上...
1 1 2你能證明它們嗎
例4 如圖，abc和 dce都是等邊三角形，d是 abc的邊bc上的一點，連線ad be。求證 ad be。分析 這是對等邊三角形性質的應用。5 議一議 議一議書本p 6 議一議 這裡的兩個問題都是由特殊結論歸納出一般結論。教學時應有意識地向學生滲透這種思想方法。讓有能力的學生自己試試。三 隨堂練習...
1 1 2你能證明它們嗎
例4 如圖，abc和 dce都是等邊三角形，d是 abc的邊bc上的一點，連線ad be。求證 ad be。分析 這是對等邊三角形性質的應用。5 議一議 議一議書本p 6 議一議 這裡的兩個問題都是由特殊結論歸納出一般結論。教學時應有意識地向學生滲透這種思想方法。讓有能力的學生自己試試。三 隨堂練習...