分類求解以特殊四邊形為載體的幾何圖形證明題
幾何圖形的證明問題是中考熱點問題．常以證明三角形全等以及以三角形的全等為手段，解決諸如線段、角、面積等相等的問題．證明時應抓住題目的已知條件和所求證的結論，認真分析，建立起從已知到未知的關聯，找到所要證明的全等三角形，然後找出全等所必備的邊和角等條件．而以特殊四邊形為載體的問題，求解時首先要找出這些特殊四邊形所隱含的諸多性質，其次要看證明的問題是需要圖形中邊還是角等條件．下面分類加以說明．
一、證明線段的相等
例題1 如圖，是正方形的對角線上一點，，，垂足分別是f、g．求證：．
分析：直接證明，很難建立起兩者的關係，考慮新增輔助線，鏈結ec．先證四邊形efcg為矩形，利用矩形的對角線相等這一性質，然後再證三角形的全等即可．
證明：鏈結ec．
∵ef⊥bc，eg⊥cd，∴四邊形efcg為矩形．
∴fg=ce．
又bd為正方形abcd的對角線，∴∠abe=∠cbe．
又be=be，ab=cb，
∴△abe≌△cbe．
∴ae=ec
∴ae=fg．
例題2 如圖，矩形abcd中，ac與bd交於o點，be⊥ac於e，cf⊥bd於f．
求證：be=cf．
分析：可用矩形的性質充當證明全等的條件即可．
證明：∵四邊形abcd為矩形，
ac=bd，則bo=co．
be⊥ac於e，cf⊥bd於f，
beo=∠cfo=90°．
又∵∠boe=∠cof，
boe≌△cof．
be=cf．
二、證明角的相等
例題3 已知：如圖，p是正方形abcd內一點，在正方形abcd外有一點e，滿足∠abe＝∠cbp，be＝bp，求證：∠pcb＝∠eab；
分析：只須證明這兩個角所在的兩個三角形全等即可．
證明：∵ 四邊形abcd是正方形
∴ bc＝ab
∵ ∠cbp＝∠abe bp＝be
∴ △cbp≌△abe
∴ ∠pcb＝∠eab
三、證明三角形的全等
例題4 如圖，用三個全等的菱形abgh、bcfg、cdef拼成平行四邊形adeh，連線ae與bg、cf分別交於p、q，觀察圖形，是否有三角形與δacq全等？並證明你的結論
分析：只須利用菱形的有關性質首先找出與δacq全等的三角形，可從邊著手，不難看出δegp與之全等，再證明即可．
解：圖中的δegp與δacq全等
證明：因為菱形abgh、bcfg、cdef是全等的菱形
即ac=eg
又ad//he
∵bg∥cf
δegp≌δacq
例題5 如圖，梯形abcd中，ad∥bc，ab＝dc，p為梯形abcd外一點，pa、pd分別交線段bc於點e、f，且pa＝pd．
（1）寫出圖中三對你認為全等的三角形（不再新增輔助線）；
（2）選擇你在（1）中寫出的全等三角形中的任意一對進行證明．
分析：可利用已知等腰梯形的有關性質，特別是其對稱性，再加之pa＝pd這樣的條件，易找出所要找出的全等的三角形的對數．再證明其中一對即可．
解：△abp≌△dcp；△abe≌△dcf；△bep≌△cfp；△bfp≌△cep；（答對三對即可）
（2）以△abp≌△dcp全等為例：
證明：∵ad∥bc，ab＝dc，
∴梯形abcd為等腰梯形，∴∠bad＝∠cda，
又∵pa＝pd，∴∠pad＝∠pda，∴∠bap＝∠cdp，
在△abp和△dcp中，
∵，∴△abp≌△dcp．
評注：在證明有關的含特殊的四邊形的問題時，熟練掌握其性質是解好這些題目的關鍵；其次掌握好判定三角形全等的方法也不可或缺，只要同學們不斷總結，定會解決好這類問題的．
分類求解證明題
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