第三章證明（三）整章能力提公升
一、本意知識整合提公升。
(一) 知識框架
(二) 重點難點突破
1、 幾種特殊的平形四形之間的關係如圖所示
2、幾種特殊的四邊形的性質及判定方法
二、典型例題精析
（1）、**性問題剖析
例1：如圖，已知矩形abcd，r，p分別是dc，bc上的點，e，f分別是ap，rp的中點，當p在bc上從b向c移動，而r不動時，那麼下列結論成立的是
a．線段ef的長逐漸增長b.線段ef的長逐漸增長
c. 線段ef的長不改變d.無法判斷
分析:因為e,f分別為ap,pr的中點,自然應該想到ef可作為三角形的中位線,若連線ar,由三角形中位線定理知:ef=ar, ∵r固定, ∴△adr固定,從而ar的長一定,所以ef的長一定,不會改變.
答案:c
評注:1、題目中出現中點時，應及時與中位線定理相聯絡，三角形的中位線定理是解決線段之間的長倍數關係的乙個重要定理。
2、 體會化歸思想，在變化中探尋不變因素。
（2）開放性問題剖析
例2：如圖，在△abc中，∠acb=90°，bc的垂直平分線de交bc於d，交ab於e，f在de上，並且af=ce。
（1） 求證：四邊形acef是平行四邊形。
（2） 當∠b的大小滿足什麼條件時，四邊形acef是菱形？試證明你的結論。
（3） 你認為四邊形acef有可能是正方形嗎？為什麼？
分析：（1）證四邊形acef是平行四邊形，已知af=ce，只需再證 af∥ce，可證明∠cea=∠fae
（2）若是菱形，則ce=ac=ae，所以∠cab=60°，則∠b=30°
（3）不可能，因為∠eca不可能是直角。
證明：（1）∠cab=60°de⊥bc
de∥ac ∴∠dec=∠eca，∠eac=∠fea。
de垂直平分bc，∴be=ec，∴∠b=∠ecb
∠b+∠eac=∠bce+∠eca=90°，∴∠eac=∠eca。∴ae=ce
ce=af，∴af=ae。∴∠afe=∠aef
∴∠afe=∠aef=∠eac=∠eca
∠afe+∠aef+∠fae=∠eca+∠eac+∠aec=180°
∴∠aec=∠fae， ∴af∥ce
又af=ce ∴四邊形acef是平行四邊形
（2）當∠b=30°時，四邊形是菱形，證明如下：
∠b=30° ∴∠eac=60°
ae=ce， ∴△eac為等邊三角形，
∴ce=ac， ∴平行四邊形acef是菱形
（3）不可能，因為∠eca永遠小於90°
評注: (1):要證明四邊形acef是平行四邊形,在已知af=ce的前提下,可證af∥ce 或ac=ef,利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形或兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行證明.
(2)要證明菱形,在已知平行四邊形的前提下,只需再證一組鄰邊相等即可.
（3）學科內綜合。
例3：已知，如圖，在矩形abcd中，ae⊥bd於e，對角線ac，bd相交於點o，且be：ed=1：3，ad=6cm,求ae的長.
分析：由矩形abcd知，ob=od=bd，又be：ed=1：3知be=oe，則ae為ob的垂直平分線，則ab=ao=bo，∠abd=60°，∠adb=30°，ae=ad
解：∵四邊形abcd為矩形，
∴bo=od=bd=oa, ∠bad=90°
∵be:ed=1:3, ∴be=oe
∵ae⊥bd, ∴ab=ao=bo. ∴∠abo=60°
∵∠bad=90°, ∴∠adb=90°-60°=30°.
∴ae=ad=3
答：ae的長為3cm
評注:當矩形對角線交角為60°或120°時,可得等邊三角形和含30°角的直角三角形,從而可利用它們的性質解題.
三、本章回顧與思考參***
複習題知識技能
1、 提示：證明△apd≌△cqb
證明四邊形abcd為平行四邊形
∴∠abd=∠bdc ； ab=cd
又bp=dq ∴△apd≌△cqb
∴ap=cqapb=∠cqd
∴∠apd=∠cqb
∴ap∥cq
2、 提示：利用三角形中位線定理證明
證明：∵e、f、c、h分別為ab、bc、cd、ad中點
∴eh∥bd，fg∥bd
∴eh∥fg
又∵eh=bd，fg=bd
∴eh=fg
∴四邊形efgh為平行四邊形
同理可證：ef=hg=ac
ef∥hg∥ac
∴eh=ef
∴四邊形efgh為菱形
又∵ac⊥bd
∴∠efg=90°
∴四邊形efgh為正方形
3、 答案： dae=22。5
解∵四邊形abcd為正方形
∴∠acb=45°
又∵ac=ec
∴∠aec=22.5°
又∵da∥bc
∴∠dae=∠aec=22.5°
4、 答案：s=18cm
解：過a點作ae⊥bc
∵∠b=30°∠aeb=90°
又∵ab=4cm
∴ae=ab=2cm
∴=bcae=92=18cm2
∴四邊形abcd為菱形
5、 答案：(1)80cm (2)2400cm
解∵ab==50cm
又∵bd=60cm
∴bo=30cm
∴ao= =40cm
∴ac=80cm
∴=acbd= 8060=2400cm2
6、 提示：證明△ade是等腰三角形
∵df∥ab，de∥ac
∴四邊形aedf為平行四邊形
∴∠ead=∠adf
又∵∠ead=∠daf
∴∠adf=∠daf
∴af=df
∴平行四邊形aedf為菱形
7、 提示：利用定理「直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。」
證明：∵△bfc為直角三角形
又∵m為bc中點
∴fm=bc
同理可證：em=bc
∴fm=em
8、 答案：2
解：設ab=a
∴ab2+bc2=l2
即2a2=l2
s=a2=
∴a=∴l=2
9、 答案：。
解：de=ac
df=bc
ef=ab
∴gh=ef=ab ，gm=de=ac
hm=df=bc
∴gh+gm+hm=（ac+bc+ab）=（a+b+c）
點評：本題非常巧妙的將三角形中位線與找規律結合在一起。蘊含了對學生觀察，理解，歸納等一般能力的考查。
同時可以將此題繼續拓展下去，分成五個三角形，六個三角形，n個三角形，其周長是多少？
10、 提示：△ade≌△cde≌△cfe≌△efb
解∵de∥bc
又∵e為ab中心
∴ad=dc
又∵∠acb=90°
∴∠ade=90°=∠edc
又∵de=de
∴△ade≌△cde
同理可證：△cde≌△cfe≌△efb
∴△ade≌△cde≌△cfe≌△efb
數學理解
11、 答案：為等腰三角形。
解∵ad∥bc
∴∠adb=∠dbc
又∵∠ebd=∠cbd
∴∠adb=∠ebd
∴fd=fb
提示：由dbc= dbf， dbc= adb。得dbf= adb
點評：本題非常集中體現了「數學在生活中的應用」意即課程標準所倡導的「人人學有價值的數學」。在面對實際問題時，能主動嘗試從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略。
12、 提示：證明△adg，△bcf為等腰三角形。
證：∵ab∥cd
∴∠acd=∠gdc ∠bfc=∠fcd
又∵fg平分∠bcd，gd平分∠adc
∴∠adg=∠gdc ∠bcf=∠fcd
∴∠agd=∠adg ∠bfc=∠bcf
∴ad=ag， bf=bc
又∵四邊形abcd為平行四邊形
∴ad=bc=ag=bf
∴ag-fg=bf-fg
即af=gb
13、 提示：可以證明四邊形efgh的三個角是直角。
證明∵四邊形abcd為平行四邊形
∴∠dcb+∠abc=180°
第三章證明 三 單元複習
知識點一 正確理解定義 1 定義 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 定義中的 兩組對邊平行 是它的特徵，抓住了這一特徵，記憶理解也就不困難了 平行四邊形的定義揭示了圖形的最本質的屬性，它既是平行四邊形的一條性質，又是乙個判定方法 同學們要在理解的基礎上熟記定義 2 表示方法 用 表示平行四邊形，...
第三章證明 三
2.應用定理完成例題 例1.如圖，已知ad是 abc的角平分線，de ac交ab於e，df ab交ac於f。求證 四邊形aedf是菱形 當 abc滿足什麼條件時，四邊形aedf是正方形？例2.如圖，在平行四邊形abcd中，ac與bd相交於o點，點e f在ac上，且be df。求證 be df。教師在...
第三章證明 三
一 填空題 1.如圖，abcd，則abad，ad，若此時 b d 128 則 b 度，c 度.2.如果乙個平行四邊形的周長為80 cm，且相鄰兩邊之比為1 3，則長邊 cm，短邊 cm.3.如下左圖，abcd,c的平分線交ab於點e，交da延長線於點f，且ae 3 cm，eb 5 cm,則abcd的...