一、選擇題
1．下面使用的模擬推理中恰當的是（ ）
ａ．「若，則」模擬得出「若，則」
ｂ．「」模擬得出「」
ｃ．「」模擬得出「」
ｄ．「」模擬得出「」
2．數列1,3,6,10,15，…的遞推公式可能是( )
a. b.
d. 3．用數學歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應取的
項是（ ）
ａ．14．在證明命題「對於任意角，」的過程：「」中應用了（ ）
ａ．分析法ｂ．綜合法ｃ.分析法和綜合法綜合使用ｄ．間接證法
5．在r上定義運算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x＋a)＜1對任意實數x都成立，則( )
a．－1＜a＜1 b．0＜a＜2 c．－＜a＜ d．－＜a＜
6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則( )
a．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋
b．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋
c．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝＋
d．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋
7．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值( )
a．大於0 b．小於0 c．不小於0 d．不大於0
8．已知c＞1，a＝－，b＝－，則正確的結論是( )
a．a＞b b．a＜b c．a＝b d．a、b大小不定
[9．若凸k邊形的內角和為f(k)，則凸(k＋1)邊形的內角和f(k＋1)(k≥3且k∈n*)等於( )
a．f(k)＋ b．f(k)＋π c．f(k)＋π d．f(k)＋2π
10．若＝＝，則△abc是( )
a．等邊三角形 b．有乙個內角是30°的直角三角形
c．等腰直角三角形 d．有乙個內角是30°的等腰三角形
11．若a＞0，b＞0，則p＝(ab)與q＝ab·ba的大小關係是( )
a．p≥q b．p≤q c．p＞q d．p＜q
12．設函式f(x)定義如下表，數列滿足x0＝5，且對任意的自然數均有xn＋1＝f(xn)，則x2011＝( )
a.1 b．2c．4d．5
二、填空題:
13．在數列中，，，可以猜測數列通項的表示式為 ．
14．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈n*)，用數學歸納法證明f(2n)>時，f(2k＋1)－f(2k
15．觀察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.兩式的結構特點可提出乙個猜想的等式為
16．設p是乙個數集，且至少含有兩個數，若對任意a、b∈p，都有a＋b、a－b、ab、∈p(除數b≠0)，則稱p是乙個數域．例如有理數集q是數域；數集f＝也是數域．有下列命題：
①整數集是數域；②若有理數集qm，則數集m必為數域；
③數域必為無限集；④存在無窮多個數域．
其中正確命題的序號是把你認為正確命題的序號都填上)
三、解答題:
17．(本題滿分12分)已知：a、b、c∈r，且a＋b＋c＝1.
求證：a2＋b2＋c2≥.
18．(本題滿分12分)證明下列等式，並從中歸納出乙個一般性的結論．
2cos＝，
2cos＝，
2cos＝，
……19．(本題滿分12分)已知數列滿足a1＝3，an·an－1＝2·an－1－1.
(1)求a2、a3、a4；
(2)求證：數列是等差數列，並寫出數列的乙個通項公式．
20．(本題滿分12分)已知函式f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)證明：函式f(x)在(－1，＋∞)上為增函式；
(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負根．
推理證明二答案
一，選擇題：
cbdbc,ddbbc,ac
二．填空題：
13. 答案：，
14.[答案] ＋＋…＋
[解析] f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋
f(2k)＝1＋＋＋…＋
f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.
15.[答案] sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝
[解析] 觀察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，
由此猜想：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.
可以證明此結論是正確的，證明如下：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)
＝＋＋[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋[cos(60°＋2α)－cos2α]＋sin(30°＋2α)－
＝1＋[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋sin(30°＋2α)－
＝－sin(30°＋2α)＋sin(30°＋2α)＝.
16.[答案] ③④
[解析] 考查閱讀理解、分析等學習能力．
①整數a＝2，b＝4，不是整數；
②如將有理數集q，添上元素，得到數集m，則取a＝3，b＝，a＋bm；
③由數域p的定義知，若a∈p，b∈p(p中至少含有兩個元素)，則有a＋b∈p，從而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈p，∴p中必含有無窮多個元素，∴③對．
④設x是乙個非完全平方正整數(x>1)，a，b∈q，則由數域定義知，f＝必是數域，這樣的數域f有無窮多個．
三．解答題：
17.[證明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.
由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，
即a2＋b2＋c2≥.
18. [證明] 2cos＝2·＝
2cos＝2＝2·
＝2cos＝2
＝2＝…
19. [解析] (1)由an·an－1＝2·an－1－1得
an＝2－，
代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得
a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝.
(2)證明：由an·an－1＝2·an－1－1變形，得
(an－1)·(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，
即－＝1，
所以{}是等差數列．
由＝，所以＝＋n－1，
變形得an－1＝，
所以an＝為數列的乙個通項公式．
20. [解析] (1)證法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設x10，且ax1>0，
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴f(x2)－f(x1)＝－
＝＝>0，
於是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
故函式f(x)在(－1，＋∞)上為增函式．
證法2：f′(x)＝axlna＋＝axlna＋
∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋>0，
f′(x)>0在(－1，＋∞)上恆成立，
即f(x)在(－1，＋∞)上為增函式．
(2)解法1：設存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0
則ax0＝－，且0∴0<－<1，即故方程f(x)＝0沒有負數根．
解法2：設x0<0(x0≠－1)
①若－1②若x0<－1則》0，ax0>0，
∴f(x0)>0.
綜上，x<0(x≠－1)時，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0無負根．
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