不等式的證明從初中到高中都是乙個令學生頭痛的一類數學問題。其實造成這一現象的本質是——在用基本不等式的性質時，放大與縮小的範圍較難把握。這一「放大與縮小」的原理是基於小學奧數的「估值法」的應用關鍵。
這時學過小學奧數的學生就有一點點優勢了。
既然用不等式的性質證明的技巧性太強，那麼換個思路，用其他駕輕就熟的方法不是可以避重就輕？所以我也不常用不等式的性質來證明不等式的題目。
證明不等式的常用方法：
1、二次函式。利用最值求解。
2、三角函式。利用正弦函式、余弦函式的有界性求解。
3、向量。利用向量:a·b＝| a|·|b |cosa,即a·b≥| a|·|b |cosa求解。
4、幾何法。利用立體幾何與平面幾何知識求解。
方法不一而足。其本質是限制所要證明的代數式的範圍。
例6 求證：
(2)若a＞b＞c＞0，d＞c，ac＞bd，則a+c＞b+d。
解 (1)因x+y+z=1，故可設
其中t1+t2+t3=0，於是
(2)因a＞b，d＞c，故可設a=b+t1，d=c+t2，其中t1＞0，t2＞
∴(a+c)-(b+d)=(a-b)-(d-c)=t1-t2＞0
∴a+c＞b+d
注 ①用n個數的平均數與適當引數來表示這n個數的代換通常稱為均值代換，如(1)中施行的代換。這種代換的特點是利用對稱性可使運
陣列，不能保證由上述代換而得到。如x=y=0，z=1就不存在對應的t值。
②當a＞b時，令a=b+t(t＞0)，其中t是a用b表示時引進的增量。這種代換通常稱為增量代換。它的特點是把條件中的不等關係轉化為相等系，使得變形過程簡化。
例7 求證：
解 (1)由a＞0，b＞0，a+2b=1，可設
則有(2)因a＞b＞0，且(a-b)+b=a，故可設
這時，原不等式等價於
故只須證明
這個不等式顯然成立。事實上，因為0＜cosθ＜1，0＜sinθ＜1又
故原不等式得證。
注代數問題三角化，往往可充分利用三角函式的特有性質，使較為複雜的問題得以簡化，從而獲得簡捷解法。
例8 求證：
(1)|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則abc+2＞a+b+c；
(2)ai，bi∈r(i=1，2，3)，且ai≠0，則
(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32+)(b12+b22+b32)
當且僅當bi=λai時取等號。
解 (1)原不等式等價於
(bc-1)a+(2-b-c)＞0
構造一次函式
f(x)=(bc-1)x+(2-b-c) (-1＜x＜1)
則 f(-1)=(1-bc)+(1-b)+(1-c)＞0
f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)＞0
於是，根據一次函式的單調性，f(x)在區間[-1，1]上恆大於0。而a∈(-1，1)，故f(a)＞0，即(bc-1)a-b-c+2＞0。所以
abc+2＞a+b+c
(2)構造二次函式
f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2
(當且僅當bi=λai，λ∈r時取等號)
所以注函式思想是解決數學問題的重要思想，應用廣泛。在不等式證明中，若能要據其結構特徵，構造相應的函式，則可充分利用函式的性質，使問題簡明。
(2)中不等式及其證明可推廣到一般情形：若ai，bi∈r(i∈1，2，…n)，且ai≠0，則
(a1b1+…+anbn)2≤(a12+…+an2)·(b12+…+bn2)
這就是著名的柯西不等式。柯西不等式不僅應用廣泛，而且它的證明方法，即構造二次函式並通過其判別式證明不等式的方法，堪稱構造法的典範。
例9 設n∈n，求證：
解 (1)採取逐項放縮的方法。由於
令1，2，…，n，則有
……………………
依項相加，即得
(2)設
並引進輔助式
比較兩式的對應因式可知
註用放縮法證不等式，常通過拆項、分組、加強命題等方式進行。此法沒有固定模式，關鍵在於放縮要適度。放得過寬或縮得太小，都會導致方法失效。
練習：1、 已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：
當且僅當a=b時右邊取等號。
2、已知2x+3y=1,求x2+y2的最大值。
用向量的方法是：構造向量（x,y）,(2,3)即可。以後有機會，繼續這方面的**。
3、請教兩道對稱不等式的證明
(1)a,b,c,d為正數,證明
(2)對實數a,b,c,證明
不等式證明的技巧
知識與方法 證明不等式的方法很多，技巧性強 如較低要求的，在所證不等式兩端同乘以乙個常數 1的代換 利用函式的單調性，等等。不等式證明的技巧，本人的理解有如下三個方面 一 基本技巧 我認為不等式的證明的基本思想和技巧是通過 放大和縮小 的思想和方法，對兩個數 兩個量 兩個式的值的大小關係的 確定 過...
不等式證明的技巧
知識與方法 證明不等式的方法很多，技巧性強 如較低要求的，在所證不等式兩端同乘以乙個常數 1的代換 利用函式的單調性，等等。不等式證明的技巧，本人的理解有如下三個方面 一 基本技巧 我認為不等式的證明的基本思想和技巧是通過 放大和縮小 的思想和方法，對兩個數 兩個量 兩個式的值的大小關係的 確定 過...
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