幾何綜合之圖形證明題
1、（2023年濰坊市）如圖，四邊形是平行四邊形，以對角線為直徑作⊙，分別於、相交於點、.
（1）求證四邊形為矩形.
（2）若試判斷直線與⊙的位置關係，並說明理由.
答案：考點：平行四邊形的性質，矩形的判定，，相似三角形的判定，直徑對的圓周角是直角，圓的切線的判定等知識的綜合運用.
點評：關鍵是掌握矩形的判定方法，三角形相似的判定方法，圓的切線的判定方法.
2、（2013陝西壓軸題）問題**
（1）請在圖中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；
（2）如圖，m是正方形abcd內一定點，請在圖中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點m），使它們將正方形abcd的面積四等分，並說明理由.
問題解決
（3）如圖，在四邊形abcd中，ab∥cd，ab+cd=bc，點p是ad的中點，如果ab=，cd=，且，那麼在邊bc上是否存在一點q，使pq所在直線將四邊形abcd的面積分成相等的兩部分？若存在，求出bq的長；若不存在，說明理由.
考點：本題陝西近年來考查的有：摺疊問題，勾股定理，矩形性質，正方形的性質，面積問題及最值問題，位似的性質應用等。此題考查對圖形的面積等分問題。
解析：此題主要考查學生的閱讀問題的能力，綜合問題的能力，動手操作能力，問題的轉化能力，分析圖形能力和知識的遷徙能力，從特殊圖形到一般的過渡，從特殊中發現關係到一般的知識遷移的過程。
（1）問較易解決，圓內兩條互相垂直的直徑即達到目的。
（2）問中其實在八年級學習四邊形時好可解決此類問題。平行四邊形過對角線的交點的直線將平行四邊形分成面積相等的兩個部分。而在正方形中就更特殊，常見的是將正方形重疊在一起旋轉的過程中的圖形的面積不變的考查，此題有這些知識的積累足夠解決。
（3）問中可以考慮構造（1）（2）中出現的特殊四邊形來解決。也可以用中點的性質來解決。在中學數學中中點就有兩個方面的應用，一是中線（倍長中線構造全等三角形或者是平行四邊形）二是中位線的應用。
解：（1）如圖所示．
（2）如圖，連線ac、bd相交於點o，作直線om分別交ad、bc於p、q兩點，過點o作用om的垂線分別交ab、cd於e、f兩點，則直線om、ef將正方形abcd的面積四等分.
理由如下：
∵點o是正方形abcd對角線的交點，∴點o是正方形abcd的對稱中心
∴ap=cq，eb=df，
d在△aop和△eob中，
∵∠aop=90°-∠aoe，∠boe=90°-∠aoe
∴∠aop=∠boe
∵oa=ob，∠oap=∠ebo=45°∴△aop≌△eob
∴ap=be=df=cq ∴ae=bq=cf=pd
設點o到正方形abcd一邊的距離為.∴∴
∴直線ef、pq將正方形abcd面積四等分
另解：∵點o是正方形abcd對角線的交點，∴點o是正方形abcd的中心
∴oa=ob=oc=od ∠oap=∠obe=∠ocq=∠odf=45°
∵pq⊥ef，∴∠pod+∠dof=90°，∠pod+∠poa=90°
∴∠poa=∠dof同理：∠poa=∠dof=∠boe=∠coq
∴△aop≌△boe≌△coq≌△dof
∴∴直線ef、pq將正方形abcd面積四等分
（3）存在.當bq=cd=時，pq將四邊形abcd面積二等分.
理由如下：如圖，延長ba至點e，使ae=，
延長cd至點f，使df=，連線ef.
∴be∥cf，be=cf ∴四邊形bcfe為平行四邊形，
∵bc=be=+，∴平行四邊形dbfe為菱形
連線bf交ad於點m，則△mab≌△mdf
∴am=dm.即點p、m重合.
∴點p是菱形ebcf對角線的交點，
在bc上擷取bq=cd=，則cq=ab=.
設點p到菱形ebcf一邊的距離為
∴所以當bq=時，直線pq將四邊形abcd的面積分成相等的兩部分.
另解：存在.當bq=cd=時，pq將四邊形abcd面積二等分.
理由如下：如圖，連線bp並延長bp交cd延長線於點f，連線cp
∵點p是ad的中點，∴pa=pd
∵ab∥cd，∴∠abp=∠dfp，∵∠apb=∠dpf ∴△apb≌△dpf
∴ab=df，pb=pf，所以cp是△cbf的中線，∴
∵ab+cd=bc，df+cd=bc，即：cb=cf，∴∠cbf=∠cfb
∵∠abp=∠dfp∴∠abp=∠cbp即pb是角平分線.
∴點p到ab與cb的距離相等，
∵bq=，所以cq=ab= ∴∴
所以當bq=時，直線pq將四邊形abcd的面積分成相等的兩部分.
3、（2013玉林）如圖，在直角梯形abcd中，ad∥bc，ad⊥dc，點a關於對角線bd的對稱點f剛好落在腰dc上，連線af交bd於點e，af的延長線與bc的延長線交於點g，m，n分別是bg，df的中點．
（1）求證：四邊形emcn是矩形；
（2）若ad=2，s梯形abcd=，求矩形emcn的長和寬．
4、（13年北京7分24）在△abc中，ab=ac，∠bac=（），將線段bc繞點b逆時針旋轉60°得到線段bd。
（1）如圖1，直接寫出∠abd的大小（用含的式子表示）；
（2）如圖2，∠bce=150°，∠abe=60°，判斷△abe的形狀並加以證明；
（3）在（2）的條件下，鏈結de，若∠dec=45°，求的值。
解析：【解析】（1）
（2）為等邊三角形[
證明連線、、
∵線段繞點逆時針旋轉得到線段
則，又∵
∴且為等邊三角形.
在與中∴≌（sss）∴∵
∴在與中
∴≌（aas）
∴∴為等邊三角形
（3）∵，∴又∵
∴為等腰直角三角形∴∵
∴而∴【點評】本題是初中數學重要模型「手拉手」模型的應用，從本題可以看出積累掌握常見模
型、常用輔助線對於平面幾何的學習是非常有幫助的.
考點：幾何綜合（等邊三角形、等腰直角三角形、旋轉全等、對稱全等、倒角）
5、（13年山東青島、24壓軸題）已知，如圖，□abcd中，ad=3cm，cd=1cm，∠b=45°，點p從點a出發，沿ad方向勻速運動，速度為3cm/s；點q從點c出發，沿cd方向勻速運動，速度為1cm/s，連線並延長qp交ba的延長線於點m，過m作mn⊥bc，垂足是n，設運動時間為t（s）（0＜t＜1），解答下列問題：
（1）當t為何值時，四邊形aqdm是平行四邊形？
（2）設四邊形anpm的面積為（cm），求y與t之間的函式關係式；
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形anpm的面積是□abcd面積的一半，若存在，求出相應的t值，若不存在，說明理由
（4）連線ac，是否存在某一時刻t，使np與ac的交點把線段ac分成的兩部分？若存在，求出相應的t值，若不存在，說明理由
解析：解得：t＝，
當ae：ec＝1：時，
同理可得：，即，解得：t＝，
答：當t＝或t＝時，np與ac的交點把線段ac分成的兩部分
6、（2023年廣州市）已知ab是⊙o的直徑，ab=4，點c**段ab的延長線上運動，點d在⊙o 上運動（不與點b重合），連線cd，且cd=oa.
(1)當oc=時（如圖12），求證：cd是⊙o的切線；
（2）當oc＞時，cd所在直線於⊙o相交，設另一交點為e，連線ae.
①當d為ce中點時，求△ace的周長;
②連線od,是否存在四邊形aode為梯形？若存在，請說明梯形個數並求此時ae·ed的值；若不存在，請說明理由。
分析：（1）關鍵是利用勾股定理的逆定理，判定△ocd為直角三角形，如答圖①所示；
（2）①如答圖②所示，關鍵是判定△eoc是含30度角的直角三角形，從而解直角三角形求出△ace的周長；
②符合題意的梯形有2個，答圖③展示了其中一種情形．在求aeed值的時候，巧妙地利用了相似三角形，簡單得出了結論，避免了複雜的運算．
解：（1）證明：連線od，如答圖①所示．
由題意可知，cd=od=oa=ab=2，oc=，
∴od2+cd2=oc2
由勾股定理的逆定理可知，△ocd為直角三角形，則od⊥cd，
又∵點d在⊙o上，
∴cd是⊙o的切線．
（2）解：①如答圖②所示，連線oe，od，則有cd=de=od=oe，
∴△ode為等邊三角形，∠1=∠2=∠3=60°；
∵od=cd，∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4+∠5，∴∠4=∠5=30°，
∴∠eoc=∠2+∠4=90°，
因此△eoc是含30度角的直角三角形，△aoe是等腰直角三角形．
在rt△eoc中，ce=2oa=4，oc=4cos30°=，
在等腰直角三角形aoe中，ae=oa=，
∴△ace的周長為：ae+ce+ac=ae+ce+（oa+oc）=+4+（2+）=6++．
②存在，這樣的梯形有2個．
答圖③是d點位於ab上方的情形，同理在ab下方還有乙個梯形，它們關於直線ab成軸對稱．
∵oa=oe，∴∠1=∠2，
∵cd=oa=od，∴∠4=∠5，
∵四邊形aode為梯形，∴od∥ae，∴∠4=∠1，∠3=∠2，
∴∠3=∠5=∠1，
在△ode與△coe中，
∴△ode∽△coe，
則有，∴cede=oe2=22=4．
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