三角形內外角平分線
一.命題的證明及應用
在中考常有與三角形內外角平分線有關的題目，若平時不注意總結是很難一下子解決的．下面來一起學習一下．
命題1 如圖１，點d是△abc兩個內角平分線的交點，則∠d=90°+∠a．
證明：如圖１：
∵∠1＝∠，∠２＝∠，
∴2∠1＋2∠2＋∠a＝180°①
∠1＋∠2＋∠d=180°②
①－②得：
∠1＋∠2＋∠a＝∠d③
由②得：
∠1＋∠2=180°－∠d④
把③代入④得：
∴180°－∠d＋∠a＝∠d
∠d=90°+∠a．
點評利用角平分線的定義和三角形的內角和等於180°，不難證明.
命題2 如圖２，點d是△abc兩個內角平分線的交點，則∠d=90°－∠a．
證明：如圖２：
∵db和dc是△abc的兩條外角平分線，
∴∠d=180°－∠1－∠2
=180°－（∠dbe+∠dcf）
=180°－（∠a+∠4+∠a+∠3）
=180°－ （∠a+180°）
=180°－ ∠a－90°
=90°－ ∠a；
點評利用角平分線的定義和三角形的乙個外角等於與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內角和等於180°，可以證明.
命題3 如圖3，點e是△abc乙個內角平分線與乙個外角平分線的交點，則∠e=∠a．
證明：如圖3：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∠a+2∠1=2∠4①
∠1+∠e=∠4②
①×代入②得：
∠e=∠a．
點評利用角平分線的定義和三角形的乙個外角等於與它不相鄰兩外角的和，很容易證明.
命題4 如圖４，點e是△abc乙個內角平分線be與乙個外角平分線ce的交點，證明:ae是△abc的外角平分線.
證明：如圖3：
∵be是∠abc的平分線,可得：eh=ef
ce是∠acd的平分線, 可得：eg=ef
∴過點e分別向ab、ac、bc所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.
即ef=eg=eh
∵eg=eh
∴ae是△abc的外角平分線．
點評利用角平分線的性質和判定能夠證明．
應用上面的結論能輕鬆地解答一些相關的比較複雜的問題，下面來一起看．
例1如圖5，pb和pc是△abc的兩條外角平分線．
①已知∠a=60°，請直接寫出∠p的度數.
②三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬於什麼三角形？
解析：①由命題2的結論直接得：∠p=90°－ ∠a=90°－ ×60°=60°
②根據命題2的結論∠p=90°－ ∠a，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個角都是銳角，則該三角形是銳角三角形．
點評此題直接運用命題2的結論很簡單．同時要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．
例２ 如圖6，在△abc中，延長bc到d,∠abc與∠acd的角平分線相較於點，∠bc與∠cd的平分線交與點，以此類推，…，若∠a=96°，則∠= 度．
解析：由命題③的結論不難發現規律∠∠a．
可以直接得：∠=×96°=3°．
點評此題是要找出規律的但對要有命題③的結論作為基礎知識．
例３（203陝西第一大題填空題第八小題，此題３分）如圖7，△abc的外角∠acd的平分線cp的內角∠abc平分線bp交於點p，若∠bpc=40°，
則∠cap
解析：此題直接運用命題４的結論可以知道ａｐ是△abc的乙個外角平分線，結合命題３的結論知道∠bac=2∠bpc, cap=(180°－∠bac )= (180°－2∠bpc )=50°．
點評對命題3、4研究過的讀者此題不難，否則將是一道在考試的時候花時間也不一定做的出來的題目．
例４ (2023年山東省)如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，∠bac=30°，∠acb的平分線與∠abc的外角平分線交與e點，連線ae，則∠aeb= 度．
解析：有題目和命題４的結論可以知道ae是△abc的乙個外角平分線, 結合命題2的結論知道∠aeb=∠acb－∠acb=90°－×90°=45°
點評從上面的做題過程來看題目中給出的「∠a=30°」這個條件是可以不用的．
二.角平分線定理使用中的幾種輔助線作法
一、已知角平分線，構造三角形
例題、如圖所示，在△abc中，∠abc=3∠c，ad是∠bac的平分線，be⊥ad於f。
求證：證明：延長be交ac於點f。
因為角是軸對稱圖形，對稱軸是角的平分線所在的直線，
所以ad為∠bac的對稱軸，
又因為be⊥ad於f，
所以點b和點f關於ad對稱，
所以be=fe=bf，ab=af，∠abf=∠afb。
因為∠abf＋∠fbc=∠abc=3∠c，
∠abf=∠afb=∠fbc＋∠c，
所以∠fbc＋∠c＋∠fbc=3∠c，
所以∠fbc=∠c，所以fb=fc，
所以be=fc=（ac－af）=（ac－ab），
所以。二、已知乙個點到角的一邊的距離，過這個點作另一邊的垂線段
如圖所示，∠1=∠2，p為bn上的一點，並且pd⊥bc於d，ab＋bc=2bd。
求證：∠bap＋∠bcp=180°。
證明：經過點p作pe⊥ab於點e。
因為pe⊥ab，pd⊥bc，∠1=∠2，
所以pe=pd。
在rt△pbe和rt△pbc中
所以rt△pbe≌rt△pbc（hl），
所以be=bd。
因為ab＋bc=2bd，bc=cd＋bd，ab=be－ae，
所以ae=cd。
因為pe⊥ab，pd⊥bc，
所以∠peb=∠pdb=90°.
在△pae和rt△pcd中
所以△pae≌rt△pcd，
所以∠pcb=∠eap。
因為∠bap＋∠eap=180°，
所以∠bap＋∠bcp=180°。
三、已知角平分線和其上面的一點，過這一點作角的兩邊的垂線段
例題、如圖所示，在△abc中，pb、pc分別是∠abc的外角的平分線，求證：∠1=∠2
證明：過點p作pe⊥ab於點e，pg⊥ac於點g，pf⊥bc於點f．
因為p在∠ebc的平分線上，pe⊥ab，ph⊥bc，
所以pe=pf。
同理可證pf=pg。
所以pg=pe，
又pe⊥ab，pg⊥ac，
所以pa是∠bac的平分線，
所以∠1=∠2。
三.角平分線------應用
三角形的角平分線是三角形的主要線段之一，它在幾何的計算或證明中，起著「橋梁」的作用．那麼如何利用三角形的角平分線解題呢？下面舉例說明．
一、由角平分線的性質聯想兩線段相等
例1 如圖1，ab＞ac，∠a的平分線與bc的垂直平分線相交於d，自d作de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e，f．求證：be=cf．
證明鏈結db，dc．
∵d在∠a的平分線上，∴de=df．
∵d在bc的垂直平分線上，∴bd=dc．
又∠bed=∠cfd=90°，
∴rt△bde≌rt△cdf，∴be=cf．
二、由角平分線的軸對稱性構造全等三角形
例2 如圖2，bc＞ab，bd平分∠abc，且ad=dc
求證：∠a+∠c=180°．
證明延長ba至f，使bf=bc．由bd平分∠abc
在△fbd與△cbd中，bf=bc ∠abd=∠cbd bd=bd
∴△fbd≌△cbd，
∴∠c=∠f，df=cd=ad，∠f=daf，
∴∠a+∠c=∠bad+∠daf=180°．
三、過角平分線上一點作一邊的平行線，構成等腰三角形
例3 已知：如圖3，∠abc的平分線bf與∠acb的平分線cf相交於點f，過f作de∥bc，交ab於d，交ac於e，求證：bd+ce=de．
證明：∵bf是∠abc的平分線 ∴∠dbf=∠cbf 又∵de∥bc
∴∠dfb=∠cbf
∴∠dbf=∠dfb
∴bd=fd，同理ce=fe．
∴bd+ce=df+fe=de．
四、實際生活中的應用
例4 如圖4，有三條公路、、兩兩相交，要選擇一地點建一座加油站，是加油站到三條公路的距離相等，應如何選擇建加油站的位址？這樣的位置有幾種選擇？
解析：分別作△abc兩內角的平分線，它們相交於一點，根據角平分線的性質知，這個點到三條公路的距離相等；或者分別作△abc相鄰兩外角的平分線，它們的交點到三條公路的距離也相等，這樣點共有三個，所以建加油站的位置共有4種選擇．
． 五.角平分線攜「截長補短」顯精彩
角的平分線具有其特有的性質，這一性質在許多問題裡都有著廣泛的應用.而「截長補短法」又是解決這一類問題的一種特殊方法，利用此種方法常可使思路豁然開朗.請看幾例.
eg1 . 如圖1-1，ad∥bc，點e**段ab上，∠ade=∠cde，∠dce=∠ecb.
求證：cd=ad+bc.
分析：結論是cd=ad+bc，可考慮用「截長補短法」中的「截長」，即在cd上擷取cf=cb，只要再證df=da即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的.
證明：在cd上擷取cf=bc，如圖1-2
在△fce與△bce中，
∴△fce≌△bce（sas）,∴∠2=∠1.
又∵ad∥bc，∴∠adc+∠bcd=180°，∴∠dce+∠cde=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.
在△fde與△ade中，
∴△fde≌△ade（asa），∴df=da，
∵cd=df+cf，∴cd=ad+bc.
eg2. 已知，如圖2-1，∠1=∠2，p為bn上一點，且pd⊥bc於點d，ab+bc=2bd.
求證：∠bap+∠bcp=180°.
分析：證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補角，即證明∠bcp=∠eap，因而此題適用「補短」進行全等三角形的構造.
證明：過點p作pe垂直ba的延長線於點e，如圖2-2
∵∠1=∠2，且pd⊥bc，∴pe=pd，
在rt△bpe與rt△bpd中，
∴rt△bpe≌rt△bpd(hl),∴be=bd.
∵ab+bc=2bd，∴ab+bd+dc=bd+be，∴ab+dc=be即dc=be-ab=ae.
在rt△ape與rt△cpd中,
∴rt△ape≌rt△cpd(sas),∴∠pae=∠pcd
又∵∠bap+∠pae=180°,∴∠bap+∠bcp=180°
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