湖北省襄陽市襄州區黃集鎮初級中學張昌林
在中考和一些競賽題目中常有與三角形內外角平分線有關的題目，若平時不注意總結是很難一下子解決的．下面來一起學習一下．
命題1 如圖１，點d是△abc兩個內角平分線的交點，則∠d=90°+∠a．
證明：如圖１：
∵∠1＝∠，∠２＝∠，
∴2∠1＋2∠2＋∠a＝180°①
∠1＋∠2＋∠d=180°②
①－②得：
∠1＋∠2＋∠a＝∠d③
由②得：
∠1＋∠2=180°－∠d④
把③代入④得：
∴180°－∠d＋∠a＝∠d
∠d=90°+∠a．
點評利用角平分線的定義和三角形的內角和等於180°，不難證明.
命題2 如圖２，點d是△abc兩個內角平分線的交點，則∠d=90°－∠a．
證明：如圖２：
∵db和dc是△abc的兩條外角平分線，
∴∠d=180°－∠1－∠2
=180°－（∠dbe+∠dcf）
=180°－（∠a+∠4+∠a+∠3）
=180°－ （∠a+180°）
=180°－ ∠a－90°
=90°－ ∠a；
點評利用角平分線的定義和三角形的乙個外角等於與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內角和等於180°，可以證明.
命題3 如圖3，點e是△abc乙個內角平分線與乙個外角平分線的交點，則∠e=∠a．
證明：如圖3：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∠a+2∠1=2∠4①
∠1+∠e=∠4②
①×代入②得：
∠e=∠a．
點評利用角平分線的定義和三角形的乙個外角等於與它不相鄰兩外角的和，很容易證明.
命題4 如圖４，點e是△abc乙個內角平分線be與乙個外角平分線ce的交點，證明:ae是△abc的外角平分線.
證明：如圖3：
∵be是∠abc的平分線,可得：eh=ef
ce是∠acd的平分線, 可得：eg=ef
∴過點e分別向ab、ac、bc所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.
即ef=eg=eh
∵eg=eh
∴ae是△abc的外角平分線．
點評利用角平分線的性質和判定能夠證明．
應用上面的結論能輕鬆地解答一些相關的比較複雜的問題，下面來一起看．
例1如圖5，pb和pc是△abc的兩條外角平分線．
①已知∠a=60°，請直接寫出∠p的度數.
②三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬於什麼三角形？
解析：①由命題2的結論直接得：∠p=90°－ ∠a=90°－ ×60°=60°
②根據命題2的結論∠p=90°－ ∠a，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個角都是銳角，則該三角形是銳角三角形．
點評此題直接運用命題2的結論很簡單．同時要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．
例２ 如圖6，在△abc中，延長bc到d,∠abc與∠acd的角平分線相較於點，∠bc與∠cd的平分線交與點，以此類推，…，若∠a=96°，則∠= 度．
解析：由命題③的結論不難發現規律∠∠a．
可以直接得：∠=×96°=3°．
點評此題是要找出規律的但對要有命題③的結論作為基礎知識．
例３（2011湖北鄂州市中考第一大題填空題第八小題，此題３分）如圖7，△abc的外角∠acd的平分線cp的內角∠abc平分線bp交於點p，若∠bpc=40°，則∠cap
解析：此題直接運用命題４的結論可以知道ａｐ是△abc的乙個外角平分線，結合命題３的結論知道∠bac=2∠bpc, cap=(180°－∠bac )= (180°－2∠bpc )=50°．
點評對命題3、4研究過的讀者此題不難，否則將是一道在考試的時候花時間也不一定做的出來的題目．
例４ (2023年山東省「klt快樂靈通杯」初中數學競賽試題)如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，∠bac=30°，∠acb的平分線與∠abc的外角平分線交與e點，連線ae，則∠aeb= 度．
解析：有題目和命題４的結論可以知道ae是△abc的乙個外角平分線, 結合命題2的結論知道∠aeb=∠acb－∠acb=90°－×90°=45°
點評從上面的做題過程來看題目中給出的「∠a=30°」這個條件是可以不用的．
初中數學 三角形內外角平分線有關命題的證明及應用
三角形內外角平分線 一.命題的證明及應用 在中考常有與三角形內外角平分線有關的題目，若平時不注意總結是很難一下子解決的 下面來一起學習一下 命題1 如圖 點d是 abc兩個內角平分線的交點，則 d 90 a 證明 如圖 1 2 1 2 2 a 180 1 2 d 180 得 1 2 a d 由 得 ...
三角形內外角平分線有關命題的證明及應用
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直角三角形 垂直平分線 角平分線
一 直角三角形 勾股定理及其逆定理 1 勾股定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。2 勾股定理的應用 已知直角三角形的兩邊求第三邊 已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關係 用於證明有關線段平方關係的問題。3 勾股定理的逆定理 如果三角形兩直角邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角...