在中考和一些競賽題目中常有與三角形內外角平分線有關的題目，若平時不注意總結是很難一下子解決的。請同學們首先證明下列命題：
命題1 如圖，點d是△abc兩個內角平分線的交點，則∠d=90°+∠a．
證明：命題2 如圖，點d是△abc兩個內角平分線的交點，則∠d=90°－∠a．
證明：命題3 如圖，點e是△abc乙個內角平分線與乙個外角平分線的交點，則∠e=∠a
證明：命題4 如圖，點e是△abc乙個內角平分線be與乙個外角平分線ce的交點，證明：ae是△abc的外角平分線。
提示：運用角平分線的性質定理及其逆定理證明
角平分線的性質定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；
逆定理：到乙個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
應用上面的結論能輕鬆地解答一些相關的比較複雜的問題，請完成下列各題。
例1如圖，pb和pc是△abc的兩條外角平分線．
①已知∠a=60°，請直接寫出∠p的度數.
②三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬於什麼三角形？
例2 如圖，在△abc中，延長bc到d，∠abc與∠acd的角平分線相較於a1點，∠a1bc與∠a1cd的平分線交與a2點，以此類推，…，若∠a=96°，則∠a5= 度；
∠an= 度
例3 如圖，△abc的外角∠acd的平分線cp的內角∠abc平分線bp交於點p，若
∠bpc=40°，則∠cap=_______度
例４ 如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，∠bac=30°，∠acb的平分線與∠abc的外角平分線交與e點，連線ae，則∠aeb= 度。
拓展練習：
1、如圖所示，d、e、f分別是△abc，△abd，△bdf的內心（三角形內角平分線的交點），如果
∠bfe的度數為整數，請同學們計算一下，∠bfe的度數最小是多少?
初中數學 三角形內外角平分線有關命題的證明及應用
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