1．正方形abcd中，ac、bd相交於點o，點e是射線ab上一點，點f是直線ad上一點，be＝df，連線ef交線段bd於點g，交ao於點h．若ab＝3，ag＝，則線段eh的長為或
2．如圖，正方形abcd的對角線相交於點o，正三角形oef
繞點o旋轉．在旋轉過程中，當ae＝bf時，∠aoe的大
小是3．如圖，在正方形abcd中，點m是對角線bd上的一點，
過點m作me∥cd交bc於點e，作mf∥bc交cd於點f．
求證：am＝ef．
3．如圖，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠b＝90°，ag∥cd交bc於點g，點e、f分別為ag、cd的中點，連線de、fg．
（1）求證：四邊形degf是平行四邊形；
（2）當點g是bc的中點時，求證：四邊形degf是菱形．
4．如圖，在四邊形abfc中，∠acb＝90°，bc的垂直平分線ef交bc於點d，交ab與點e，且cf＝ae，
（1）求證：四邊形becf是菱形；
（2）若四邊形becf為正方形，求∠a的度數．
5．如圖①，在正方形abcd中，p是對角線ac上的一點，點e在bc的延長線上，且pe＝pb．
（1）求證：△bcp≌△dcp；
（2）求證：∠dpe＝∠abc；
（3）把正方形abcd改為菱形，其它條件不變（如
圖②），若∠abc＝58°，則∠dpe＝ 度．
6．如圖1，在△oab中，∠oab＝90°，∠aob＝30°，ob＝8．以ob為邊，在△oab外作等邊△obc，d是ob的中點，連線ad並延長交oc於e．
（1）求證：四邊形abce是平行四邊形；
（2）如圖2，將圖1中的四邊形abco摺疊，使點c與點a重合，摺痕為fg，求og的長．
7．已知在△abc中，∠abc＝90°，ab＝3，bc＝4．點q是線段ac上的乙個動點，過點q作ac的垂線交線段ab（如圖1）或線段ab的延長線（如圖2）於點p．
（1）當點p**段ab上時，求證：△apq∽△abc；
（2）當△pqb為等腰三角形時，求ap的長．
8．（13·湖南邵陽）如圖所示，在rt△abc中，ab＝bc＝4，∠abc＝90°，點p是△abc的外角∠bcn的角平分線上乙個動點，點p′是點p關於直線bc的對稱點，鏈結pp′交bc於點m，bp′交ac於d，鏈結bp、ap′、cp′．
（1）若四邊形bpcp′為菱形，求bm的長；
（2）若△bmp′∽△abc，求bm的長；
（3）若△abd為等腰三角形，求△abd的面積．
9．（滿分10分）一張矩形紙片，剪下乙個正方形，剩下乙個矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下乙個正方形，剩下乙個矩形，稱為第二次操作；…；若在第n次操作後，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形abcd中，若，，則稱矩形abcd為2階奇異矩形．
（1）判斷與操作：
如圖2，矩形abcd長為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請寫出它是幾階奇異矩形，並在圖中畫出裁剪線；如果不是，請說明理由．
（2）**與計算：
已知矩形abcd的一邊長為20，另一邊長為（a<20）,且它是3階奇異矩形，請畫出矩形abcd及裁剪線的示意圖，並在圖的下方寫出的值．
（3）歸納與拓展：
已知矩形abcd兩鄰邊的長分別為b，c（b10．已知，在△abc中，∠bac＝90°，∠abc＝45°，點d為直線bc上一動點（點d不與點b，c重合）．以ad為邊做正方形adef，連線cf
（1）如圖1，當點d**段bc上時．求證cf+cd＝bc；
（2）如圖2，當點d**段bc的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出cf，bc，cd三條線段之間的關係；
（3）如圖3，當點d**段bc的反向延長線上時，且點a，f分別在直線bc的兩側，其他條件不變；
①請直接寫出cf、bc、cd三條線段之間的關係；
②若正方形adef的邊長為，對角線ae，df相交於點o，連線oc．求oc的長度．
11． （2023年福建龍巖）如圖，四邊形abcd是菱形，對角線ac與bd交於點o，且ac＝80，bd＝60．動點m、n分別以每秒1個單位的速度從點a、d同時出發，分別沿a→o→d和d→a運動，當點n到達點a時，m、n同時停止運動．設運動時間為t秒．
（1）求菱形abcd的周長；
（2）記△dmn的面積為s，求s關於t的解析式，並求s的最大值；
（3）當t＝30秒時，**段od的垂直平分線上是否存在點p，使得∠dpo＝∠don？若存在，這樣的點p有幾個？並求出點p到線段od的距離；若不存在，請說明理由．
12．已知等腰三角形abc中，∠acb＝90°，點e在ac邊的延長線上，且∠dec＝45°，點m、n分別是de、ae的中點，連線mn交直線be於點f．當點d在cb邊上時，如圖1所示，易證mf+fn＝be
（1）當點d在cb邊上時，如圖2所示，上述結論是否成立？若成立，請給與證明；若不成立，請寫出你的猜想，並說明理由．
（2）當點d在bc邊的延長線上時，如圖3所示，請直接寫出你的結論．（不需要證明）
24、（本題滿分12分）rt△abc與rt△fed是兩塊全等的含30、60角的板，按如圖（一）所示拼在一起，cb與de重合．
（1）求證：四邊形abfc為平行四邊形；
（2）取bc中點o，將△abc繞點o順時針方向旋轉到如圖（二）中△a′b′c′位置，直線b′c′與ab、cf分別相交於p、q兩點，猜想oq、op長度的大小關係，並證明你的猜想．
（3）在（2）的條件下，指出當旋轉角至少多少度時，四邊形pcqb為菱形（不要求證明）．
27．（2011淄博）（本小題9分）
將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△abc）的長直角邊與含45°角的三角尺（△acd）的斜邊恰好重合．已知ab＝2，p是ac上的乙個動點．
（1）當點p運動到∠abc的平分線上時，連線dp，求dp的長；
（2）當點p在運動過程中出現pd＝bc時，求此時∠pda的度數；
（3）當點p運動到什麼位置時，以d、p、b、q為頂點的平行四邊形的頂點q恰好在邊bc上？求出此時□dpbq的面積．
【答案】解：在rt△abc中，ab＝2，∠bac＝30°，∴bc＝，ac＝3．
（1）如圖（1），作df⊥ac，∵rt△acd中，ad＝cd，∴df＝af＝cf＝．
∵bp平分∠abc，∴∠pbc＝30°，∴cp＝bc·tan30°＝1，∴pf＝，
∴dp＝＝．
（2）當p點位置如圖（2）所示時，根據（1）中結論，df＝，∠adf＝45°，又pd＝bc＝，
∴cos∠pdf＝＝，∴∠pdf＝30°．
∴∠pda＝∠adf－∠pdf＝15°．
當p點位置如圖（3）所示時，同（2）可得∠pdf＝30°．
∴∠pda＝∠adf＋∠pdf＝75°．
（3）cp＝．
在□dpbq中，bc∥dp，∵∠acb＝90°，∴dp⊥ac．根據（1）中結論可知，dp＝cp＝，
∴s□dpbq＝dp·cp＝．
平行四邊形中的操作題
江蘇高峰
操作型問題有利於提高同學們的動手操作能力和創新能力，培養手腦並用的學習習慣，因此關於操作型問題，近年來，一直是各地中考的熱點，下面選取與平行四邊形有關的操作型問題加以分析，談談他們的解題思路。
一、平移型問題
例1、將圖甲中的平行四邊形abcd沿對角線ac剪開，再將△adc沿著ac方向平移，得到圖乙中的△a1d1c1．鏈結ad1，bc1．除△abc與△c1d1a1外，你還可以在圖中找出哪幾對全等的三角形（不能另外新增輔助線和字母）？請選擇其中的一對加以證明．
分析：可以先觀察可得還有兩對全等的三角形，即△ad1c1≌△c1ba，△ad1a1≌△c1bc，利用平移的性質（對應邊平行且相等，對應角相等）即可證明。
解：（1）△ad1c1≌△c1ba，（2）△ad1a1≌△c1bc。證明：
由平移性質可知，cd=c1d1，cd∥c1d1，又四邊形abcd是平行四邊形，所以cd=ab，cd∥ab，所以c1d1=ab，c1d1∥ab，所以∠ac1d1=∠c1ab，又ac1=c1a，所以△ad1c1≌△c1ba。
評析：本題是以平移為背景，將平行四邊的性質和判定、平移的相關知識結合起來進行考查的操作題，考查同學們運用這些知識解決問題的能力，本題難度不大，且解決問題的方法很多，卻能考查出同學們眾多能力的基礎題。
二、旋轉型問題
例2、如圖，在中，點分別是邊的中點，若把繞著點順時針旋轉得到．
（1）請指出圖中哪些線段與線段相等；
（2）試判斷四邊形是怎樣的四邊形？證明你的結論．
分析：（1）由條件易得ad=bd=cf；（2）要充分利用圖形旋轉的性質，它可以得到眾多的邊和角相等，這就為我們說明四邊形bdcf為平行四邊形提供條件。
解：（1），
（2）方法一：四邊形是平行四邊形
證明：繞點順時針旋轉，得到
又是的中點，
四邊形是平行四邊形．
評析：本題通過旋轉變換構造出乙個平行四邊形，在考查了平行四邊形和旋轉的相關性質的同時，著重考查同學們利用變換思想解決問題的能力。
三、折疊型問題
例3、將平行四邊形紙片abcd按如圖方式摺疊，使點c與a重合，點d落到d′ 處，摺痕為ef．說明：△abe≌△ad′f。
分析：解決摺疊問題的關鍵是抓住軸對稱的性質，即摺疊前的部分與摺疊後的部分是全等的。本題中要注意重合的部分有：
四邊形cefd與四邊形aefd/，△cef與△aef，△afd/與△cfd。
解：由摺疊可知：∠d＝∠d′，cd＝ad′，∠c＝∠d′ae．
∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴∠b＝∠d，ab＝cd，∠c＝∠bad
∴∠b＝∠d′，ab＝ad′，
∠d′ae＝∠bad，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．
∴∠1＝∠3．
∴△abe ≌△a d′f．
評析：解決平移、旋轉、摺疊有關問題時，除了關注被操作的部分之間的邊與角之間的關係外，我們還應關注由摺疊後出現的新的圖形，它們往往能為我們提供解題的思路。
練習： 1、如圖1，平行四邊形中，ac=2，，．對角線相交於點，將直線繞點順時針旋轉，分別交於點．當旋轉角為多少度時，四邊形是平行四邊形？
九年級數學第一章圖形與證明 二 練習及答案
第1章圖形與證明 二 練習題 一 選擇題 1.2010，廣州市 在 abc中，d e分別是邊ab ac的中點，若bc 5，則de的長是 a 2.5b 5c 10d 15 2.2010,燕山 已知等邊 abc的邊長為a，則它的面積是 學 科 網z x x k a a2b a2c a2 d a2 3.2...
2019九年級數學第一章《證明 二 》測試題
一 填空題 每小題3分 1 如圖，修建抽水站時，沿著傾斜角為300的斜坡鋪設管道，若量得水管ab的長度為80公尺，那麼點b離水平面的高度bc的長為公尺。2 如果乙個三角形的一條角平分線恰好是對邊上的高，那麼這個三角形是三角形.3 如圖，已知ac db，要使 abc dcb，只需增加的乙個條件是或 4...
九年級上冊數學第一章習題
初三數學 第1課 教學目標 1 能證明平行四邊形的三個性質 對邊相等 對角相等 對角線互相平分 2 能運用平行四邊形的性質定理進行計算與證明 一 自主 根據我們曾經探索得到的平行四邊形 矩形 菱形 正方形的性質，填寫下表 從上面的幾種特殊四邊形的性質中，你能說說它們之間有什麼聯絡與區別嗎？二 自主合...