證明空間線面垂直需注意以下幾點:
①由已知想性質,由求證想判定,即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。
②立體幾何論證題的解答中,利用題設條件的性質適當新增輔助線(或麵)是解題的常用方法之一。
③明確何時應用判定定理,何時應用性質定理,用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論。
垂直轉化:線線垂直線面垂直面面垂直;
基礎篇型別一:線線垂直證明(共面垂直、異面垂直)
(1) 共面垂直:實際上是平面內的兩條直線的垂直 (只需要同學們掌握以下幾種模型)
等腰(等邊)三角形中的中線
菱形(正方形)的對角線互相垂直勾股定理中的三角形
1:1:2 的直角梯形中利用相似或全等證明直角。
例:在正方體中,o為底面abcd的中心,e為,求證:
(2) 異面垂直 (利用線面垂直來證明,高考中的意圖)
例1 在正四面體abcd中,求證
變式1 如圖,在四稜錐中,底面是矩形,已知.
證明:;
變式2 如圖,在邊長為的正方形中,點是的中點,點是的中點,將△aed,△dcf分別沿折起,使兩點重合於.
求證:;
變式3如圖,在三稜錐中,⊿是等邊三角形,∠pac=∠pbc=90 證明:ab⊥pc
型別二:線面垂直證明
方法利用線面垂直的判斷定理
例2:在正方體中,o為底面abcd的中心,e為,求證:
變式1:在正方體中,,求證:
變式2:如圖:直三稜柱abc-a1b1c1中, ac=bc=aa1=2,∠acb=90.e為bb1的中點,d點在ab上且de=.
求證:cd⊥平面a1abb1;
變式3:如圖,在四面體abcd中,o、e分別是bd、bc的中點,
求證:平面bcd;
變式4 如圖,在底面為直角梯形的四稜錐中,
,,平面.,,,
求證:平面
利用面面垂直的性質定理
例3:在三稜錐p-abc中,,,。
方法點撥:此種情形,條件中含有面面垂直。
變式1, 在四稜錐,底面abcd是正方形,側面pab是等腰三角形,且,求證:
變式2:
型別3:面面垂直的證明。(本質上是證明線面垂直)
例1 如圖,已知平面,平面,△為等邊三角形,
,為的中點.
(1) 求證:平面;
(2) 求證:平面平面;
例2 如圖,在四稜錐中,底面,,,是的中點.
(1)證明; (2)證明平面;
變式1已知直四稜柱abcd—a′b′c′d′的底面是菱形,,e、f分別是稜cc′與bb′上的點,且ec=bc=2fb=2.
(1)求證:平面aef⊥平面aa′c′c;
舉一反三
1.設m表示平面,a、b表示直線,給出下列四個命題:
① ② ③b∥m ④b⊥m.
其中正確的命題是
a.①② bcd.①②④
2.下列命題中正確的是
a.若一條直線垂直於乙個平面內的兩條直線,則這條直線垂直於這個平面
b.若一條直線垂直於乙個平面內的無數條直線,則這條直線垂直於這個平面
c.若一條直線平行於乙個平面,則垂直於這個平面的直線必定垂直於這條直線
d.若一條直線垂直於乙個平面,則垂直於這條直線的另一條直線必垂直於這個平面
3.如圖所示,在正方形abcd中,e、f分別是ab、bc的中點.現在沿de、df及ef把△ade、△cdf和△bef折起,使a、b、c三點重合,重合後的點記為p.
那麼,在四面體p—def中,必有
a.dp⊥平面pef b.dm⊥平面pef c.pm⊥平面def d.pf⊥平面def
4.設a、b是異面直線,下列命題正確的是
a.過不在a、b上的一點p一定可以作一條直線和a、b都相交
b.過不在a、b上的一點p一定可以作乙個平面和a、b都垂直
c.過a一定可以作乙個平面與b垂直
d.過a一定可以作乙個平面與b平行
5.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那麼必有 ( )
a.α⊥γ且l⊥m b.α⊥γ且m∥β c.m∥β且l⊥m d.α∥β且α⊥γ
6.ab是圓的直徑,c是圓周上一點,pc垂直於圓所在平面,若bc=1,ac=2,pc=1,則p到ab的距離為
a.1 b.2 c. d.
7.有三個命題:
①垂直於同乙個平面的兩條直線平行;
②過平面α的一條斜線l有且僅有乙個平面與α垂直;
③異面直線a、b不垂直,那麼過a的任乙個平面與b都不垂直
其中正確命題的個數為 ( )
a.0 b.1 c.2 d.3
8.d是異面直線a、b的公垂線,平面α、β滿足a⊥α,b⊥β,則下面正確的結論是 ( )
a.α與β必相交且交線m∥d或m與d重合
b.α與β必相交且交線m∥d但m與d不重合
c.α與β必相交且交線m與d一定不平行
d.α與β不一定相交
9.設l、m為直線,α為平面,且l⊥α,給出下列命題
1 若m⊥α,則m∥l;②若m⊥l,則m∥α;③若m∥α,則m⊥l;④若m∥l,則m⊥α,
其中真命題的序號是
abcd.①③④
10.已知直線l⊥平面α,直線m平面β,給出下列四個命題:
①若α∥β,則l⊥m;②若α⊥β,則l∥m;③若l∥m,則α⊥β;④若l⊥m,則α∥β.
其中正確的命題是 ( )
a.③與④ b.①與③ c.②與④ d.①與②
二、思維啟用
11.如圖所示,△abc是直角三角形,ab是斜邊,三個頂點在平面α的同側,它們在α內的射影分別為a′,b′,c′,如果△a′b′c′是正三角形,且aa′=3cm,bb′=5cm,cc′=4cm,則△a′b′c′的面積是
12.如圖所示,在直四稜柱a1b1c1d1—abcd中,當底面四邊形abcd滿足條件時,有a1c⊥b1d1(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)
13.如圖所示,在三稜錐v—abc中,當三條側稜va、vb、vc之間滿足條件時,有vc⊥ab.(注:填上你認為正確的一種條件即可)
三、能力提高
14.如圖所示,三稜錐v-abc中,ah⊥側面vbc,且h是△vbc的垂心,be是vc邊上的高.
(1)求證:vc⊥ab;
(2)若二面角e—ab—c的大小為30°,求vc與平面abc
所成角的大小.
15.如圖所示,pa⊥矩形abcd所在平面,m、n分別是ab、pc的中點.
(1)求證:mn∥平面pad.
(2)求證:mn⊥cd.
(3)若∠pda=45°,求證:mn⊥平面pcd.
16.如圖所示,在四稜錐p—abcd中,底面abcd是平行四邊形,∠bad=60°,ab=4,ad=2,側稜pb=,pd=.
(1)求證:bd⊥平面pad.
(2)若pd與底面abcd成60°的角,試求二面角p—bc—a的大小.
17.已知直三稜柱abc-a1b1c1中,∠acb=90°,∠bac=30°,bc=1,aa1=,m是cc1的中點,求證:ab1⊥a1m.
18.如圖所示,正方體abcd—a′b′c′d′的稜長為a,m是ad的中點,n是bd′上一點,且d′n∶nb=1∶2,mc與bd交於p.
(1)求證:np⊥平面abcd.
(2)求平面pnc與平面cc′d′d所成的角.
(3)求點c到平面d′mb的距離.
第4課線面垂直習題解答
1.a 兩平行中有一條與平面垂直,則另一條也與該平面垂直,垂直於同一平面的兩直線平行.
2.c 由線面垂直的性質定理可知.
3.a 折後dp⊥pe,dp⊥pf,pe⊥pf.
4.d 過a上任一點作直線b′∥b,則a,b′確定的平面與直線b平行.
5.a 依題意,m⊥γ且mα,則必有α⊥γ,又因為l=β∩γ則有lγ,而m⊥γ則l⊥m,故選a.
6.d 過p作pd⊥ab於d,連cd,則cd⊥ab,ab=,,
∴pd=.
7.d 由定理及性質知三個命題均正確.
8.a 顯然α與β不平行.
9.d 垂直於同一平面的兩直線平行,兩條平行線中一條與平面垂直,則另一條也與該平面垂直.
10.b ∵α∥β,l⊥α,∴l⊥m
11. cm2 設正三角a′b′c′的邊長為a.
∴ac2=a2+1,bc2=a2+1,ab2=a2+4,
又ac2+bc2=ab2,∴a2=2.
s△a′b′c′=cm2.
12.在直四稜柱a1b1c1d1—abcd中當底面四邊形abcd滿足條件ac⊥bd(或任何能推導出這個條件的其它條件,例如abcd是正方形,菱形等)時,有a1c⊥b1d1(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).
點評:本題為探索性題目,由此題開闢了填空題有探索性題的新題型,此題實質考查了三垂線定理但答案不惟一,要求思維應靈活.
13.vc⊥va,vc⊥ab. 由vc⊥va,vc⊥ab知vc⊥平面vab.
14.(1)證明:∵h為△vbc的垂心,
∴vc⊥be,又ah⊥平面vbc,
∴be為斜線ab在平面vbc上的射影,∴ab⊥vc.
(2)解:由(1)知vc⊥ab,vc⊥be,
∴vc⊥平面abe,在平面abe上,作ed⊥ab,又ab⊥vc,
∴ab⊥面dec.
∴ab⊥cd,∴∠edc為二面角e—ab—c的平面角,
∴∠edc=30°,∵ab⊥平面vcd,
∴vc在底面abc上的射影為cd.
∴∠vcd為vc與底面abc所成角,又vc⊥ab,vc⊥be,
∴vc⊥面abe,∴vc⊥de,
∴∠ced=90°,故∠ecd=60°,
∴vc與面abc所成角為60°.
15.證明:(1)如圖所示,取pd的中點e,鏈結ae,en,
則有en∥cd∥ab∥am,en=cd=ab=am,故amne為平行四邊形.
∴mn∥ae.
∵ae平面pad,mn平面pad,∴mn∥平面pad.
(2)∵pa⊥平面abcd,
∴pa⊥ab.
立體幾何垂直證明題常見模型及方法
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