（一）直線與直線垂直的證明
1) 利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直等。
2) 看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。
3) 利用直線與平面垂直的性質：
如果一條直線與乙個平面垂直，則這條直線垂直於此平面內的所有直線。
4) 利用平面與平面垂直的性質推論：
如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內分別作垂直於交線的直線，則這兩條直線互相垂直。
5) 利用常用結論：
1 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直於第三條直線，則另一條直線也垂直於第三條直線。
2 如果有一條直線垂直於乙個平面，另一條直線平行於此平面，那麼這兩條直線互相垂直。
（二）直線與平面垂直的證明
1) 利用某些空間幾何體的特性：如長方體側稜垂直於底面等
2) 看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂直於此平面。
3) 利用直線與平面垂直的判定定理：
一條直線與乙個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線垂直於此平面。
4) 利用平面與平面垂直的性質定理：
兩個平面垂直，則乙個平面內垂直於交線的直線與另乙個平面垂直。
5) 利用常用結論：
1 一條直線平行於乙個平面的一條垂線，則該直線也垂直於此平面。
2 兩個平面平行，一直線垂直於其中乙個平面，則該直線也垂直於另乙個平面。
平面與平面垂直的證明
1) 利用某些空間幾何體的特性：如長方體側面垂直於底面等
2) 看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就說這連個平面互相垂直。
3) 利用平面與平面垂直的判定定理
乙個平面過另乙個平面的垂線，則這兩個平面垂直。
空間的平行與垂直
◆一輪回顧
1．已知直線a、b、l及平面m、n。給出下列四個命題
①若a∥m，b∥m，則a∥b
②若a∥m，b⊥a，則b⊥m
③若am，bm，且l⊥a，l⊥b，則l⊥m
④若a⊥m，a∥n，則m⊥n
其中真命題的序號是將所有正確結論的序號都寫上）
2．已知m，l是直線，α，β是平面，給出下列命題：
若l垂直於α內的兩條相交直線，則l⊥α；
若l平行於α，則l平行於α內的所有直線；
四面體中最多可以有四個面是直角三角形；
若mα且l⊥β， 且α∥β則ml
其中正確命題的是
3．如圖，兩個正方形和所在平面互相垂直，設、分別是和的中點，那麼①；②面；③；④、異面
其中正確結論的序號是
4．在正方體中，為底面的中心，、、、分別為稜、、、的中點，請寫出乙個與垂直的正方體的截面或或）.（截面以給定的字母表示，不必寫出所有情況）
5．如圖，四稜錐中，為正方形，底面，那麼在該圖中，互相垂直的平面有對.
6．已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面．給出下列的四個命題：
1 若，，則；
2 若，，則；
③若，，，則；
④若m、n是異面直線，，，，，則，
其中真命題是 ①和④
◆典型例題
例1．在稜長為的正方體中。
（1）求證：面；
（2）求證：面面；
（3）求證：面；
（4）求證：面面；
（5）求三稜錐的體積。
例2．如圖，已知是稜長為3的正方體，點在上，點在上，且，
（1）求證：四點共面；
（2）若點在上，，點在上，
，垂足為，求證：面
解：（1）證明：在dd上取一點n使得dn=1，連線cn，en，顯然四邊形cfdn是平行四邊形，所以df//cn，同理四邊形dnea是平行四邊形，所以en//ad，且en=ad，又
bc//ad，且ad=bc，所以en//bc，en=bc，所以四邊形cneb是平行四邊形，所以
cn//be，所以df//be，所以四點共面。
（2）因為所以∽mbg，所以，即，所以mb=1，因為ae=1，所以四邊形abme是矩形，所以em⊥bb又平面abba⊥平面bccb，且em在平面abba內，所以面
例3．（2006天津文，19）如圖，在五面體abcdef中，點o是矩形abcd的對角線的交點，面cde是等邊三角形，稜。
（i）證明平面；
（）證明平面oef⊥平面
（ii）設證明平面
證明：（i）取cd中點m，鏈結om。
在矩形abcd中， 又
則鏈結em，於是四邊形efom為平行四邊形。
又平面cde，且平面cde，
平面cde。
（）由（i）和已知條件，四邊形efom為平行四邊形。
平面efom
而，平面
故，平面efom⊥平面即平面oef⊥平面
（）鏈結fm。
由（i）和已知條件，在等邊中，
且 因此平行四邊形efom為菱形，從而。
平面eom，從而
而所以平面
由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證明思路.
平行問題的轉化：
面面平行線面平行線線平行；
主要依據是有關定義及判定定理和性質定理．
垂直問題的轉化：
面面垂直線面垂直線線垂直；
主要依據是有關定義及判定定理和性質定理．
例4．如圖，在直四稜柱中，
已知，．
（1）求證：；
（2）設是上一點，試確定的位置，使平面
，並說明理由．
解．（1）證明：在直四稜柱中，
鏈結，，四邊形是正方形．
．又，，平面，平面，．平面，且，平面，又平面，
．（2）鏈結，鏈結，
設，，鏈結，
平面平面，
要使平面，
須使，又是的中點．
是的中點．
又易知，
．即是的中點．
綜上所述，當是的中點時，可使平面．
【解析】本題主要考查立體幾何中的主幹知識，如線而平行、線面垂直等，考查空間想象能力、推理論證能力，本題屬中等題。
◆小結：
1. 直線與平面的平行、垂直是空間線線、線面與麵麵的位置關係的一種特殊情況，應熟練掌握直線與平面平行、垂直的定義、判定定理、性質定理，並能依據條件靈活運用。
常用定理:①線面平行;;
②線線平行:;;;
③面面平行:;;
④線線垂直:;所成角900； (三垂線);逆定理?
⑤線面垂直:;;;
⑥面面垂直：二面角900;;
2．立體幾何中平行、垂直關係的證明的基本思路是利用線面關係的轉化，即：
3．證明空間線面平行或垂直需注意以下幾點：
①由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。
②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適當新增輔助線（或麵）是解題的常用方法之一。
③明確何時應用判定定理，何時應用性質定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論。
④直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的。運用降維的方法把立體空間問題轉化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決。平面圖形的翻摺問題的分析與解決，就是公升維與降維思想方法的不斷轉化運用的過程。
◆鞏固練習
1．已知正方體中，點、分別為、的中點。
（1）求證：、、、四點共面；
（2）證明多面體是稜臺。
2．如圖，四邊形abcd為正方形，sa⊥平面abcd，過a且垂直sc的平面分別交sb、sc、sd於e、f、g，求證：ae⊥sb，ag⊥sd。
3．已知側稜垂直於底面的三稜柱中，底面為等腰直角三角形，，且，、、分別為、、的中點。
（1）求證：面；
（2）求證：面。
4．如圖，在四稜錐中，底面為正方形，底面，，、分別為、的中點。
（1）求證：面；
（2）求證：面。
5．如圖，四稜錐中，側面為正三角形，且與底面垂直，已知底面是面積為的菱形，，為的中點，求證：
（1）；
（2）面面。
6．如圖，在長方體中，，，、分別為、的中點．
（1）求證：平面；（2）求證：平面
（3）能否在麵內找一點g，使af若能，請找出所有可能的位置並證明，若不能，請說明理由。
（1）證明：側面，
側面，，
在中，，則有，
又平面．
（2）證明：連、，連交於，
，，四邊形是平行四邊形，
又平面，平面，
平面． （3）點g所有可能的位置為中點g與點c的連線段。
證明略線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定
1、 如圖，在四稜錐p－abcd中2、如圖，稜柱的側面
pa⊥底面abcd，ab⊥ad，ac⊥cd是菱形，
∠abc＝60°，pa＝ab＝bc，e是pc的中點證明：平面平面；
(1)求證：cd⊥ae；
(2)求證：pd⊥面abe
3、如圖，四稜錐中，底面為平行四邊形。 底面 ，證明：
4、如圖所示，在長方體中，ab=ad=1，aa1=2，m是稜cc1的中點
（ⅰ）求異面直線a1m和c1d1所成的角的正切值；
（ⅱ）證明：平面abm⊥平面a1b1m1
面面垂直的性質
1、s是△abc所在平面外一點，sa⊥平面abc,平面sab⊥平面sbc,求證ab⊥bc.
2、在四稜錐中，底面abcd是正方形，側面vad是正三角形，平面vad⊥底面abcd
證明:ab⊥平面vad
3、如圖，平行四邊形中，，將
沿折起到的位置，使平面平面
求證： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4、如圖，在四稜錐中，平面pad⊥平面abcd，
ab=ad，∠bad=60°，e、f分別是ap、ad的中點
求證：（1）直線ef‖平面pcd；
（2）平面bef⊥平面pad
1． 如圖，在直三稜柱中，、分別是、的中點，點在上，。
求證：（1）ef∥平面abc
（2）平面平面.
2.如圖，在四稜錐中，平面，，平分，為的中點，
（1）證明：平面
（2）證明：平面
3.如圖，四稜錐的底面是正方形，，點e在稜pb上.
求證：平面
4.如圖4，在正三稜柱中，
d是的中點，點e在上，且。
證明平面平面
5如圖，在四稜錐中，底面，，，是的中點．
（1）證明； （2）證明平面；
6、如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點.
(1) 求證：平面；
(2) 求證：平面平面；
必修二垂直證明常見模型及方法
證明空間線面垂直需注意以下幾點 由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適當新增輔助線 或麵 是解題的常用方法之一。明確何時應用判定定理，何時應用性質定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論。垂直轉化 線線垂直線面垂直面面垂直 ...
線面垂直平行六種關係的證明方法
一 線線平行的證明方法 1 利用平行四邊形。2 利用三角形或梯形的中位線。分線段成比例的直線平行 3 如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線就和交線平行。線面平行的性質定理 4 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。面面平行的性質定理 5 如果...
立體幾何垂直證明題常見模型及方法
證明空間線面垂直需注意以下幾點 由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適當新增輔助線 或麵 是解題的常用方法之一。明確何時應用判定定理，何時應用性質定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論。垂直轉化 線線垂直線面垂直面面垂直 ...