證明空間線面垂直需注意以下幾點：
①由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。
②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適當新增輔助線（或麵）是解題的常用方法之一。
③明確何時應用判定定理，何時應用性質定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論。
垂直轉化：線線垂直線面垂直面面垂直；
基礎篇型別一：線線垂直證明（共面垂直、異面垂直）
（1） 共面垂直：實際上是平面內的兩條直線的垂直 （只需要同學們掌握以下幾種模型）
等腰（等邊）三角形中的中線
菱形（正方形）的對角線互相垂直勾股定理中的三角形
1:1:2 的直角梯形中利用相似或全等證明直角。
例：在正方體中，o為底面abcd的中心，e為,求證：
（2） 異面垂直 （利用線面垂直來證明，高考中的意圖）
例1 在正四面體abcd中，求證
變式2 如圖，在邊長為的正方形中，點是的中點，點是的中點，將△aed,△dcf分別沿折起，使兩點重合於.
求證:；
變式3如圖，在三稜錐中，⊿是等邊三角形，∠pac=∠pbc=90 證明：ab⊥pc
型別二：線面垂直證明
方法，求證：平面
利用面面垂直的性質定理
例3：在三稜錐p-abc中，,，。
方法點撥：此種情形，條件中含有面面垂直。
變式1, 在四稜錐，底面abcd是正方形，側面pab是等腰三角形，且,求證：
型別3：面面垂直的證明。(本質上是證明線面垂直)
例1 如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，
，為的中點.
(1) 求證：平面；
(2) 求證：平面平面；
例2 如圖，在四稜錐中，底面，，，是的中點．
（1）證明； （2）證明平面；
變式1已知直四稜柱abcd—a′b′c′d′的底面是菱形，，e、f分別是稜cc′與bb′上的點，且ec=bc=2fb=2．
（1）求證：平面aef⊥平面aa′c′c；
舉一反三
1.設m表示平面，a、b表示直線，給出下列四個命題：
① ② ③b∥m ④b⊥m.
其中正確的命題是
a.①② bcd.①②④
2.下列命題中正確的是
a.若一條直線垂直於乙個平面內的兩條直線，則這條直線垂直於這個平面
b.若一條直線垂直於乙個平面內的無數條直線，則這條直線垂直於這個平面
c.若一條直線平行於乙個平面，則垂直於這個平面的直線必定垂直於這條直線
d.若一條直線垂直於乙個平面，則垂直於這條直線的另一條直線必垂直於這個平面
3.如圖所示，在正方形abcd中，e、f分別是ab、bc的中點.現在沿de、df及ef把△ade、△cdf和△bef折起，使a、b、c三點重合，重合後的點記為p.
那麼，在四面體p—def中，必有
平面pef 平面pef 平面def 平面def
4.設a、b是異面直線，下列命題正確的是
a.過不在a、b上的一點p一定可以作一條直線和a、b都相交
b.過不在a、b上的一點p一定可以作乙個平面和a、b都垂直
c.過a一定可以作乙個平面與b垂直
d.過a一定可以作乙個平面與b平行
5.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那麼必有 ( )
a.α⊥γ且l⊥m b.α⊥γ且m∥β 且l⊥m d.α∥β且α⊥γ
是圓的直徑，c是圓周上一點，pc垂直於圓所在平面，若bc=1,ac=2,pc=1，則p到ab的距離為
a.1 b.2 c. d.
7.有三個命題：
①垂直於同乙個平面的兩條直線平行；
②過平面α的一條斜線l有且僅有乙個平面與α垂直；
③異面直線a、b不垂直，那麼過a的任乙個平面與b都不垂直
其中正確命題的個數為 ( )
a.0 b.1 c.2 d.3
是異面直線a、b的公垂線，平面α、β滿足a⊥α，b⊥β，則下面正確的結論是 ( )
a.α與β必相交且交線m∥d或m與d重合
b.α與β必相交且交線m∥d但m與d不重合
c.α與β必相交且交線m與d一定不平行
d.α與β不一定相交
9.設l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題
1 若m⊥α，則m∥l；②若m⊥l，則m∥α；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，
其中真命題的序號是
abcd.①③④
10.已知直線l⊥平面α，直線m平面β，給出下列四個命題：
①若α∥β，則l⊥m；②若α⊥β，則l∥m；③若l∥m，則α⊥β；④若l⊥m，則α∥β.
其中正確的命題是 ( )
a.③與④ b.①與③ c.②與④ d.①與②
二、思維啟用
11.如圖所示，△abc是直角三角形，ab是斜邊，三個頂點在平面α的同側，它們在α內的射影分別為a′，b′，c′，如果△a′b′c′是正三角形，且aa′＝3cm，bb′＝5cm，cc′＝4cm，則△a′b′c′的面積是
12.如圖所示,在直四稜柱a1b1c1d1—abcd中,當底面四邊形abcd滿足條件時,有a1c⊥b1d1(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)
13.如圖所示，在三稜錐v—abc中，當三條側稜va、vb、vc之間滿足條件時，有vc⊥ab.(注：填上你認為正確的一種條件即可)
三、能力提高
14.如圖所示,三稜錐v-abc中,ah⊥側面vbc,且h是△vbc的垂心，be是vc邊上的高.
(1)求證:vc⊥ab;
(2)若二面角e—ab—c的大小為30°,求vc與平面abc
所成角的大小.
15.如圖所示，pa⊥矩形abcd所在平面，m、n分別是ab、pc的中點.
(1)求證：mn∥平面pad.
(2)求證：mn⊥cd.
(3)若∠pda＝45°，求證：mn⊥平面pcd.
16.如圖所示，在四稜錐p—abcd中，底面abcd是平行四邊形，∠bad＝60°，ab＝4，ad＝2，側稜pb＝，pd＝.
(1)求證：bd⊥平面pad.
(2)若pd與底面abcd成60°的角，試求二面角p—bc—a的大小.
17.已知直三稜柱abc-a1b1c1中，∠acb=90°,∠bac=30°,bc=1，aa1=，m是cc1的中點，求證：ab1⊥a1m．
18.如圖所示，正方體abcd—a′b′c′d′的稜長為a，m是ad的中點，n是bd′上一點，且d′n∶nb＝1∶2，mc與bd交於p.
(1)求證：np⊥平面abcd.
(2)求平面pnc與平面cc′d′d所成的角.
(3)求點c到平面d′mb的距離.
線面垂直習題解答
兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直，垂直於同一平面的兩直線平行.
由線面垂直的性質定理可知.
折後dp⊥pe,dp⊥pf，pe⊥pf.
過a上任一點作直線b′∥b,則a，b′確定的平面與直線b平行.
依題意,m⊥γ且mα,則必有α⊥γ,又因為l=β∩γ則有lγ,而m⊥γ則l⊥m,故選a.
過p作pd⊥ab於d，連cd，則cd⊥ab，ab=，，
∴pd=.
由定理及性質知三個命題均正確.
顯然α與β不平行.
垂直於同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直.
∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m
11. cm2 設正三角a′b′c′的邊長為a.
∴ac2=a2+1,bc2=a2+1,ab２=a2+4，
又ac2+bc2=ab2，∴a2=2．
s△a′b′c′=cm2．
12.在直四稜柱a1b1c1d1—abcd中當底面四邊形abcd滿足條件ac⊥bd(或任何能推導出這個條件的其它條件，例如abcd是正方形，菱形等)時,有a1c⊥b1d1(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).
點評：本題為探索性題目，由此題開闢了填空題有探索性題的新題型，此題實質考查了三垂線定理但答案不惟一,要求思維應靈活.
由vc⊥va，vc⊥ab知vc⊥平面vab.
14.(1)證明:∵h為△vbc的垂心,
∴vc⊥be,又ah⊥平面vbc,
∴be為斜線ab在平面vbc上的射影,∴ab⊥vc.
(2)解:由(1)知vc⊥ab,vc⊥be,
∴vc⊥平面abe,在平面abe上,作ed⊥ab,又ab⊥vc,
∴ab⊥面dec.
∴ab⊥cd,∴∠edc為二面角e—ab—c的平面角，
∴∠edc=30°,∵ab⊥平面vcd,
∴vc在底面abc上的射影為cd.
∴∠vcd為vc與底面abc所成角,又vc⊥ab,vc⊥be,
∴vc⊥面abe,∴vc⊥de,
∴∠ced=90°,故∠ecd=60°,
∴vc與面abc所成角為60°.
15.證明：(1)如圖所示，取pd的中點e，鏈結ae，en，
則有en∥cd∥ab∥am，en＝cd＝ab＝am，故amne為平行四邊形.
∴mn∥ae.
∵ae平面pad，mn平面pad，∴mn∥平面pad.
(2)∵pa⊥平面abcd，
∴pa⊥ab.
又ad⊥ab，∴ab⊥平面pad.
∴ab⊥ae，即ab⊥mn.
又cd∥ab，∴mn⊥cd.
(3)∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥ad.
又∠pda＝45°，e為pd的中點.
∴ae⊥pd，即mn⊥pd.又mn⊥cd，
∴mn⊥平面pcd.
16.如圖(1)證：由已知ab＝4，ad＝２，∠bad＝60°，
故bd2＝ad2+ab2-2ad·abcos60°＝4+16-2×2×4×＝12.
立體幾何垂直證明題常見模型及方法
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