數學思想方法作為基礎知識的重要組成部分,但又有別於基礎知識。除基本的數學方法以外,其他思想方法都呈隱蔽形式,滲透在學習新知識和運用知識解決問題的過程之中。這就要求教師在教學過程中把握滲透的時機,選擇適當的方法,使學生能夠領悟並逐步學會運用這些思想方法去解決問題。
下面是筆者對在課堂教學中滲透數學思想方法的幾點認識。
一、在知識的形成過程中滲透數學思想方法
數學知識的發生過程實際上也是數學思想方法的發生過程。任何乙個概念,都經歷著由感性到理性的抽象概括過程;任何乙個規律,都經歷著由特殊到一般的歸納過程。如果我們把這些認識過程返璞歸真,在教師的引導下,讓學生以探索者的姿態出現,去參與概念的形成和規律的揭示過程,學生獲得的就不僅是數學概念、定理、法則,更重要的是發展了抽象概括的思維和歸納的思維,還可以養成良好的思維品質。
因此,概念的形成過程、結論的推導過程、規律的被揭示過程都是滲透數學思想方法的極好機會和途徑。
1.展開概念——不要簡單地給定義
概念是思維的細胞,是濃縮的知識點,是感性認識飛躍到理性認識的結果。而飛躍的實現要經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工,依據數學思想方法的指導。因此概念教學應當完整地體現這一生動的過程,引導學生揭示隱藏於知識之中的思維核心。
心理學認為,人對事物的第一次接觸是最敏感的,教學成功與否,關鍵是喚起對舊知識的回憶,探尋新知識的清澈的源頭。並通過事物的發生和發展的教學,掌握活的數學概念。
2.延遲判斷——不要過早地下結論
判斷可以看作是壓縮了的知識鏈。數學定理、性質、法則、公理、關係、規律等結論都是乙個個具體的判斷。教學中要引導學生積極參與這些結論的探索、發現、推導的過程,弄清每個結論的因果關係,使學生看到某個判斷時,能像回憶自己參加有趣活動那樣津津樂道。
當然,延遲判斷,必定拉長了教學時間,但磨刀不誤砍柴工,以後應用就自如了。
3.啟用推理——不要呆板地找關聯
啟用推理就是要使判斷上下貫通,前後遷移、左右逢源,盡可能從已有的判斷生出眾多的思維觸角,促成思維鏈條的高效運轉,不斷在數學思想方法指導下推出乙個個新的判斷、新的思維結果。
如在立體幾何三垂線定理的教學中,為充分調動學生的思維活動,可以設計下列幾個問題:①若直線l與平面α垂直,則l垂直α內的任何直線,那麼當l是平面α的斜線時,l與α內的直線有幾種位置關係呢?②當l是平面α的斜線時,平面α內有沒有直線與l垂直,在什麼情況下,l與α內的直線垂直?
讓學生開展討論,並闡述理由。③你覺得三垂線定理的本質是什麼?它有什麼作用?
二、在解題探索過程中滲透數學思想方法
教學大綱明確指出:「要加強對解題的正確指導,引導學生從解題的思想方法上作必要的概括。」數學中的化歸、數學模型、數形結合、模擬、歸納猜想等思想方法,既是解題思路分析中必不可少的思想方法,又是具有思維導向型的思想方法。
如,學生一旦形成了化歸意識,就能化未知為已知、化繁為簡、化一般為特殊,優化解題方法;數學思想方法在解題思路探索中的滲透,可以使學生的思維品質更具合理性、條理性和敏捷性。如:
例求f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值和最小值。
不少同學直接使用公式展開,結果相當繁瑣,造成思維混亂。化解這一問題的方法是,將x+20°(或x+80°)看成乙個整體,x+80°化為(x+20°)+60°。這裡涉及了換元思想方法(整體思想方法)和化繁為簡的化歸思想方法。
在具體教學中,可以告知學生從函式解析式的特點看本題,本題的焦點是角度不同(即自變數不同)。因此,關鍵在於如何利用三角恒等變換公式將函式中的角化成同乙個角。
三、在問題的解決過程中滲透數學思想方法
問題解決,是以思考為內涵,以問題目標為定向的心理活動,是在新情景下通過思考去實現學習目標的活動,「思考活動」和「探索過程」是問題解決的核心。數學領域中的問題解決,與其他科學領域用數學去解決問題不同。數學領域裡的問題解決,不僅關心問題的結果,而且關心求得結果的過程,即問題解決的整個思考過程。
數學問題解決,是按照一定的思維對策進行的思維過程。在數學問題解決的過程中,既運用抽象、歸納、模擬、演繹等邏輯思維形式,又運用直覺、靈感(頓悟)等非邏輯思維形式來探索問題的解決辦法。
問題是數學的心臟,數學問題的解決過程,實質是命題的不斷變換和數學思想方法的反覆運用過程。數學思想方法是數學問題的解決觀念性成果,它存在於數學問題的解決之中。數學問題的步步轉化,無不遵循數學思想方法指示的方向。
因此,通過問題解決,可以培養數學意識,構造數學模型,提供數學想象;伴以實際操作,可以誘發創造動機,可以把數學嵌入活的思維活動之中,並不斷在學數學、用數學的過程中,引導學生學習知識、掌握方法、形成思想,促進思維能力的發展。
數學問題的解決過程是用「不變」的數學思想和方法去解決不斷「變換」的數學命題,在數學問題的解決過程中滲透數學思想和方法,不僅可以加快和優化問題解決的過程,
四、在複習與小結中提煉、概括數學思想方法
小結與複習是數學教學的乙個重要環節,揭示知識之間的內在聯絡以及歸納、提煉知識中蘊含的數學思想方法是小結與複習的功能之一。數學的小結與複習,不能僅停留在把已學的知識溫習記憶一遍的要求上,而要去努力思考新知識是怎樣產生、展開和證明的,其實質是什麼?怎樣應用它等。
小結與複習是對知識進行深化、精煉和概括的過程,它需要通過手和腦積極主動地開展活動才能達到。因此,在這個過程中,提供了發展和提高能力的極好機會,也是滲透數學思想方法的極好機會與途徑。
學生學完乙個單元的內容,應該在整體上對該單元的內容有乙個清晰、全面的認識。因此,在小結與複習時應該提煉、概括這一單元知識所涉及的數學思想方法;並從知識發展的過程來綜觀數學思想方法所起的作用,以新的更為全面的觀點分析所學過的知識;從數學思想方法的角度進行提高與精練。由於同一內容可以體現不同的數學思想方法,而同一數學思想方法又常常蘊含在許多不同的知識點裡,因此,在小結與複習時,還應該從縱橫兩方面整理出數學思想方法及其系統。
如在解析幾何章節複習時,可以通過具體所學的知識,再一次向學生強調解析幾何是用代數方法研究幾何圖形的性質,它的基本思想,是將幾何問題轉化為代數問題,用座標表示點,用方程表示曲線等幾何圖形,將圖形的有關性質轉化為數與方程,通過代數計算和變形的方法來解決。
五、引導學生進行反思,從中領悟數學思想方法
著名數學教育家弗賴登塔爾指出:「反思是數學思維活動的核心和動力。」因此,教師應該創設各種情境,為學生創造反思的機會,引導學生積極主動地提出問題,總結經驗。
如:解法是怎樣想出來的?關鍵是哪一步?
自己為什麼沒想出來?能找到更好的解題途徑嗎?這個方法能推廣嗎?
通過解這個題,我學到了什麼?在必要時可以引導學生進行討論。這種反思能較好地概括思維的本質,從而上公升到數學思想方法上來。
同時由於學習的不可代替原則,教師在積極引導學生進行反思的同時還要善於引導學生學會自己提煉數學思想方法,幫助學生領悟數學知識與解題過程中隱藏的數學思想方法。
課堂教學中如何適時滲透數學思想方法
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