下一頁返回上一頁設t ωu u sin m =②大小關係：r u i =③相位關係：u 、i 相位相同
歐姆定律:t ωr
u 2r t ωu r u i sin sin m ===t ωi 2t ωi sin sin m ==①頻率相同0==i u ψψ相位差：i &u &相量圖
一電阻元件的交流電路r
i u+_相量式：o &0
i i =r i
u u &&o ==02.3單一引數的正弦交流電路u=±ir
電阻的交流功率 (1) 瞬時功率 p：瞬時電壓與瞬時電流的乘積
i = 2 i sin ω t u = 2 u sin ω t
小寫u i o p
i uωt
pp = ui
= u m i m sin ω t
21 = um im (1 cos 2 ω t ) 2
結論:o
ωtp ≥ 0 （耗能元件）,且隨時間變化。
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(2) 平均功率(有功功率)p 瞬時功率在乙個週期內的平均值
t ti
+ u _ r
1 1 p = ∫ p dt = ∫ u i dt t 0 t 0 p p 大寫 1 t1 = ∫ um im (1 cos2 ω t ) dt t 0 2 1 t = ∫ ui (1 cos2 ω t )d t = ui o t 0 2 u 2 單位:瓦（w） p =u×i = i r =rp
ωt注意：通常銘牌資料或測量的功率均指有功功率。
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相量分析的基本定律
& & 若正弦量用相量 u 、 i 表示，電路引數用阻抗 1 z = r + jx = r + j ( x l x c ) （r →r、l →jω l、c → j )
ωc相量（複數）形式的歐姆定律電阻電路純電感電路 & & & & u = ir u = i (j x l ) 純電容電路一般電路 & & & & u = i ( j x c ) u = iz
相量形式的基爾霍夫定律 & & kcl ∑ i = 0 kvl u =0
∑返回上一頁下一頁
二電感元件的交流電路
1. 電壓與電流的關係 di u 基本關係式： = e l = li+
u設： = 2 i sin ω t i
dtd( imsin ω t ) u=l dt = 2 iω l sin ( ω t + 90 ° )
u i-
el l +
-= 2 u sin ( ω t + 90 °)
u i90 °oωt
① 頻率相同 ② u =iω l ③ 電壓超前電流90° 相位差 = ψu ψi = 90 °
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i = 2 i sin ω t u = 2i ωlsin ( ωt + 90 °)
u 或 i = 有效值: u = i ωl ω l 定義： x l = ωl = 2π f l 感抗(ω)
則:u = i xl
直流：f = 0, xl =0，電感l視為短路 xl 交流：f 交流：
xl = 2 π fl
∴ 電感l具有通直阻交的作用返回上一頁下一頁
xl = ω l=2 π f l
感抗xl是頻率的函式根據：
i, xl
i= u 2π fl
xl& 可得相量式：i = i 0 °
i = 2 i sin ω t u = 2i ωlsin ( ωt + 90 °)
& u = u 90° = iω l 90°of
& & u 超前 i90°
& u& u u 則： = 90 ° = j ω l & i i & & & u = ji ω l = i (jx l )
相量圖& i
電感電路的相量歐姆定律返回上一頁下一頁
2. 功率關係 (1) 瞬時功率
i = 2 i sin ω t u = 2i ω l sin ( ω t + 90 °)
p = i u = u m i m sin ω t sin ( ω t + 90 ° ) u m im = u m i m sin ω t cos ω t = sin 2 ω t 2
= ui sin 2 ω t
(2) 平均功率 1 t p = ∫ p dt t o 1 t = ∫ ui sin (2 ω t ) d t = 0 t o
l是非耗能元件返回上一頁下一頁
p 分析：瞬時功率 ： = i u = ui sin 2 ω t
u o + iωti
p 可逆的能量轉換過程 o
u -u+i
u+iu -+i
結論： 純電感不消耗能量，只和電源進行能量交換（能量的吞吐)。
+ p <0 + p <0 p >0 p >0
∴ 電感l是儲 ωt 能元件。
儲能放能儲能放能返回上一頁下一頁
(3) 無功功率 q 用以衡量電感電路中能量交換的規模。用瞬時功率達到的最大值表徵，即
p 瞬時功率 ： = i u = ui sin 2 ω t
q =u i = i xl =u
2 2xl
單位：var
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例1: 把乙個0.1h的電感接到 f=50hz, u=10v的正弦電源上，求i，如保持u不變，而電源 f = 5000hz, 這時i為多少？
解： (1) 當 f = 50hz 時
x l = 2π fl = 2 × 3.14 × 50 × 0.1 ω = 31.4 10 u = = 318ma i = 31.4 xl
（2）當 f = 5000hz 時
x l = 2 π fl = 2 × 3.14 × 5000 × 0.1 = 3140
u 10 i = = = 3.18ma xl 3140
所以，電感元件具有通低頻阻高頻的特性返回上一頁下一頁
三電容元件的交流電路
1.電流與電壓的關係 du 基本關係式： i = ci+
設： = 2 u sin ω t u 則： = c d u = 2 uc ω cos ω t 電流與電壓 i dt 的變化率成 = 2 u ω c sin( ω t + 90 °) 正比。
u i u i
dtu _
c90°
① 頻率相同 ② i = uω c ωt ③電流超前電壓90° 相位差 = ψ u ψ i = 90°
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u = 2 u sin ω t i = 2 u ω c sin ( ω t + 90 ° )
有效值i = u ωc
或定義： x = 1 = c
ωc1 2π fc
1 u = i ωc
容抗xc（ω）
則:u = i xc x 直流： c 交流：f
1 xc = 2π f c
∞ ，電容c視為開路
xc所以電容c具有隔直通交的作用返回上一頁下一頁
1 xc = 2π fc
i , xc
xc =
1 ωc
i =u(2 π f c)
容抗xc是頻率的函式由： u =
i =o 2 u sin ω t 2 u ω c sin ( ω t + 90 ° )
f& 可得相量式 u = u 0 °
& i = i 90 ° = j uω c
則：& i
& & i 超前 u90°
& = ji 1 = ji x & & u c ωc
相量圖返回
& u電容電路中的相量歐姆定律上一頁下一頁
2. 功率關係由
iu = 2 u sin ω t i = 2 u ω c sin ( ω t + 90 ° )
+u _ c
(1) 瞬時功率
p = i u = u m i m sin ω t sin ( ω t + 90 ° ) u m im = sin 2 ω t = ui sin 2 ω t 2 (2) 平均功率 ｐ
1 p= t 1 = t
∫ ∫t 0 t
p dt ui sin (2 ω t ) d t = 0
c是非耗能元件
0返回上一頁下一頁
p 瞬時功率 ： = i u = ui sin 2 ω t
u,i o + i u
ip o
u -u -+i
u+iu
+i結論： 純電容不消 ωt 耗能量，只和電源進行能量交換（能量的吞吐)。 所以電容c是儲能元件。
+ p <0 p >0
+ p <0 p >0
ωt充電放電充電放電返回上一頁下一頁
(3) 無功功率 q 為了同電感電路的無功功率相比較，這裡也設
i = 2 i sin ω t 則：u = 2usin ( ω t 90 °)
所以 p = ui sin2 ω t
同理，無功功率等於瞬時功率達到的最大值。
q = ui = i x c
2u = xc
2單位：var
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單一引數電路中的基本關係引數阻抗基本關係相量式
r lr
u = ir
& & u = ir
& & u = jx l i
相量圖 & i
u&u&
di jxl = jωl u = l dt
& i & i
u&返回上一頁下一頁
cdu & 1 & i =c u = jx c i jxc =j ωc dt
單一引數正弦交流電路的分析計算小結電路電路圖基本阻抗引數 (參考方向) 關係 i 設 + u 電壓、電流關係瞬時值有效值功率相量圖相量式有功功率無功功率
ri = 2 isin ω t
u = ir r
則& i
& uu = ir
u、 i 同相
& & u = ir i 2 r
& uui
0u = 2usinωti設
l u+ -
i = 2 isin ω t
di u= l dt
jxl則
u = ix
lu = 2 iω l sin(ω t + 90° )
x l = ωl
& & & i u = jixl
u領先 i 90°ui0
i2x li設
i =c du dt
c+ u -
& & jxc 則 u = jixc & u = ix c u u = 2 iω c x c = 1 / ωc sin( ω t 90° ) u落後 i 90°
i = 2 isin ω t
& i ui
0- i 2 xc
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指出下列各式中哪些是對的，哪些是錯的？
在電阻電路中：
ru i =
r u i =
ru i =
ru i &&=在電感電路中：
lx u i =l
ωu i =
lx i
u=&&在電容電路中：
cωi u =c
x i u =c
ωu i j =&&【練習】
21ir
ir u +=討論
交流電路、與引數r 、l 、c 、ω間的關係如何？
u &i
&1. 電流、電壓的關係
u =ir + i ωl + i 1/ ωc
?直流電路兩電阻串聯時2.4 rlc 串聯的交流電路設：t
ωsin i i 2=rlc 串聯交流電路中
r l c
ru +_l
u +_c
u +_u+_
itωi i sin 2=設：
)90(sin )1(2)90(sin )(2sin 2°+
°++=
t ωc
ωi t ωl ωi t
ωir u 則(1) 瞬時值表示式
根據kvl 可得：
cl r u u u u ++=∫
++=t i c
t i l ir d 1
d d 為同頻率
正弦量1. rlc 各自的電流、電壓關係
rl c
r u +
_lu +_c
u +_u+_
i(2)相量法c
l r u u u u0i i
&設（參考相量）)
j (c
cx i uj l l x i u &&=則 r i u r
&&=總電壓與總電流
的相量關係式
rj x l -j x c
r u &+
_l u &+_c
u &+_u&+
_i&1)相量式
()c l x x r i u +=j &&)c l x x r z +=j 令則
z 在電壓、電流之間起到橋梁作用，它的模表示u 、i
的大小關係，輻角（阻抗角）為u 、i 的相位差。
z 是乙個複數，不是相量，上面不能加點。
阻抗相量
歐姆定律
注意根據i
u i u
iu z i u i u z
z = z ∠ = r + j ( x l x c )
zx = xl xc
阻抗 r u 2 2 三角形 = r + ( x l xc ) 阻抗模： z = i xl xc ω l1/ωc = arctan 阻抗角： =ψu ψi = arctan r r
用z可以確定電路的性質，因由電路引數決定。
呈感性呈容性呈電阻性返回電路引數與電路性質的關係： 當 xl >xc 時， > 0 ，u 超前 i 當 xl < xc 時 ， < 0 ， u 滯後 i 當 xl = xc 時 ， = 0 ， u. i 同相上一頁下一頁
2) 相量圖 +
r& i
參考相量
& ul
& ujxl
_ -jxc
& + ul & & ur & & & & ur i u _ ul +uc + xl < xc & u l xl > xc & & ul +uc _ & u & & ur i + & u c ( > 0 感性) & & u c ( < 0 容性) uc _
& uul +uc = u x 由電壓三角形可得:
& ur
電壓三角形
u r = u cos u x = u sin
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2) 相量圖 & u
由相量圖可求得:
& & & ul +uc = u x
電壓三角形
zu = u r + (u l u c )22
2 2& ur
= i r + ( x l xc ) = i r2 + x 2 =i z
rx = xl xc
阻抗三角形
r = z cos x = z sin
由阻抗三角形：
z = r + ( x l xc )22
x l xc = arctan r
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2.功率關係
(1) 瞬時功率設：i = im sin ω t+r
iur _ ul _
ucu_
l cu = umsin (ω t + ) p = u i = um sin (ω t + ) imsin ω t = uicos uicos(2ω t + )
耗能元件上的瞬時功率儲能元件上的瞬時功率在每一瞬間,電源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分與儲能元件進行能量交換。
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(2) 平均功率p （有功功率）
1 t p = ∫ pdt t 0 1 t = ∫ [ui cos ui cos (2 ω t + )]d t t 0 單位: w = ui cos = pr cos 稱為功率因數，用來衡量對電源的利用程度。
所以 p = ui cos
總電壓總電流
u 與 i 的夾角返回上一頁下一頁
根據電壓三角形可得：
& u2
p = ui cos = u r i = i r
(3) 無功功率q
& ux
& ur
電阻消耗的電能
2q = u l i u c i = (u l u c ) i = i ( x l x c )
根據電壓三角形可得：
q = ui sin
總電壓總電流單位：var
u 與 i 的夾角電感和電容與電源之間的能量互換返回上一頁下一頁
(4) 視在功率 s 電路中總電壓與總電流有效值的乘積。
s = ui
= z i
2單位：va
注： sn＝un in 稱為發電機、變壓器等供電裝置的容量，可用來衡量發電機、變壓器可能提供的最大有功功率。
s =p +q22
s = p+q
p、q、s 都不是正弦量，不能用相量表示。
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阻抗三角形、電壓三角形、功率三角形將電壓三角形的有效值同除i得到阻抗三角形將電壓三角形的有效值同乘i得到功率三角形 s 2 2 & u = u r + (u l uc ) u z u r = u cos & +u q u &
u x = u sin
xlx clc
z = r 2 + ( x l x c )2
r& ur
pr = z cos x = z sin
s = p2 + q2 p = s cos q = s sin
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例1： 在rlc串聯交流電路中， 已知: r = 30, l = 127mh, c = 40μ f
u = 220 2 sin ( 314t + 20 )v
o求:(1)電流的有效值i與瞬時值 i ;(2) 各部分電壓的有效值與瞬時值；(3) 作相量圖；(4)有功功率p、 無功功率q和視在功率s。 解：
感抗 x l = ω l = 314 × 127 × 10 ω = 40 ,容抗3
1 1 xc = = ω = 80 , -6 ω c 314 × 40 × 10
z = r 2 + ( x l x c ) 2 = 30 2 + (40 80) 2 ω = 50 ,
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方法1： u 220 (1) i = a = 4.4a = +ri
ur _ ul _
uc_ ++u
_因為 = ψ u ψ i = -53 °, 所以 ψi = 73°
i = 4.4 2 sin ( 314 t + 73 °)a
u r = ir = 4.4 × 30v = 132v
50 x l xc 40 - 80 = arctan = arctan = -53 ° 30 r
zl c
+ (2)
ur = 132 2 sin ( 314t + 73° )v
u l = ix l = 4.4 × 40 v = 176v
ul = 176 2 sin ( 314t + 163° )v
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方法1：
)v17314(sin 2352°=t u c 352v
804.4=×==c c ix u o53u
&lu &c
u &c
l u u &&+i
&ru &通過計算可看出：
cl r u u u u ++≠c
l r u u u u &&&&++=而是(3)相量圖(4)580.8w
)w53(cos 4.4220cos =°××==ui p 或580.8w
2===r i i u p r
(4)-774.4var )var
53(sin 4.4220sin =°××==ui q 或-774.4var
)()(2
===c l c l x x i i u -u q 呈容性
方法2：複數運算
5350j40)30()(j °=ω=+=c l x x r z a 734.4a 53-5020220°=°°==z u i
&&v 7313230v 734.4°=×°==r i u r
&&v 163176v 7340j4.4j °=°×==l l x i u &&v
17-352v 7380j4.4j °=°×==c c x i u &&v 20220°=u
&解：例2：已知:f
1μ.0,2k ==c r 在rc 串聯交流電路中，解：3.2k k 10
0.15003.142116
-=××××==c ωx c ,
k 3.77k 3.222222
=+=+=c x r z 輸入電壓500hz
1v,1==f u (1)求輸出電壓u 2，並討論輸入和輸出電壓之間的大小和相位關係(2)當將電容c 改為時,求(1)中各項；(3)當將頻率改為4000hz 時,再求(1)中各項。f μ20r c 1
u &+_+_
i&2u &方法1：
(1)0.27ma ma 3.77
11===
z u i °
===-5823.2
-arctan arctan r
x c 0.54v
2v 0.272=×==ir u 大小和相位關係54%1
2=u u 2u &1u &比超前°58方法2：複數運算
v 011°=u &解：設v 580.54v 583.772v 013.22212°=°
=°×==j u z r u &&
方法3：相量圖
0.54v
v cos581cos 12=°×==u u 1
2u u &&≈i
&°58°
===-5823.2
-arctan arctan r
x c r 1610
205003.1421
16-<<=ω××××==c ωx c ,
k 22
2≈+=c x r z °
≈=0arctan r
x c1v
cos 112=≈=u u u 1
u &c
u &i
&2u &v 011°=u &解：設
（3）00410
0.140003.142116-=ω××××==c ωx c ,k 2.042
2=+=c x r z °==-11.3arctan r x c 0.98v cos 12==u u o 31.11u &c u &i &2
u &大小和相位關係98%12=u u 2u &1u &比超前°311.從本例中可了解兩個實際問題：
(1)串聯電容c 可起到隔直通交的作用(只要選擇合適的c ，使)
r x c <<(2)rc 串聯電路也是一種移相電路，改變c 、r 或f 都可達到移相的目的。
思考r l c
r u + _
l u + _
c u + _
u + _i
1.假設r、l、c 已定，電路性質能否
確定？阻性？感性？容性？
cos2.rlc串聯電路的是否一定小於1？uu
r>uu
u,ucl
>>3.rlc串聯電路中是否會出現，
的情況？
4.在rlc串聯電路中，當l>c時，u超前i，
當l正誤判斷z u i =？？z u i =z u i =？z u i &&=？
在rlc 串聯電路中，√√z
u i &&=？？u u u c l =arctan ？r x x c l =arctan r c l u u u =arctan ？
√√？c x ++=l x r u i ？c l r u u u u ++=？
c l r u u u u ++=？)c l x x r z ++=j(r c ωl ω=arctan ？√？
c l x x r z ++=°
=0i i &設
第二章正弦交流電路an
第二章正弦交流電路習題參 一 填空題 1.表徵正弦交流電振盪幅度的量是它的最大值 表徵正弦交流電隨時間變化快慢程度的量是角頻率 表徵正弦交流電起始位置時的量稱為它的初相 三者稱為正弦量的三要素 2.電阻元件上任一瞬間的電壓電流關係可表示為 u ir 電感元件上任一瞬間的電壓電流關係可以表示為 電容元...
第二章正弦交流電路
第一節正弦量的基本概念 3.1.1 正弦量的參考方向 大小及方向均隨時間按正弦規律做週期性變化的電流 電壓 電動勢統稱為交流電。3.1.2正弦交流電的三要素 正弦交流電的振幅 角頻率 初相這三個引數叫做三要素。也可以把正弦交流電的有效值 頻率 初相這三個引數叫做三要素。1 週期 頻率 正弦交流電完成...
正弦交流電路
3 1已知正弦電流的波形如圖3 1所示，頻率為50hz，試指出它們的最大值，初相位以及它們之間的相位差，並說明哪個正弦量超前，超前多少角度？超前多少時間？解 電壓超前電流135 3 2 某正弦電流的頻率為20hz，有效值為5a，在t 0時，電流的瞬時值為5a，且此時刻電流在增加，求該電流的瞬時值表示...