第三章正弦交流電流電路
3.1 正弦交流電的基本概念
3.1.1正弦量
正弦量：隨時間按照正弦規律變化的物理量，都稱為正弦量，它們在某時刻的值稱為該時刻的瞬時值，則正弦電壓和電流分別用小寫字母i、u表示。
週期量：時變電壓和電流的波形週期性的重複出現。週期t：
每乙個瞬時值重複出現的最小時間間隔，單位：秒（s）；頻率f： 是每秒中週期量變化的週期數，單位：
赫茲（hz）。顯然，週期和頻率互為倒數，即f=1/t。
交變數：乙個週期量在乙個週期內的平均值為零。可見，正弦量不僅是週期量，而且還是交變數。
3.1.2正弦量的表示式
1. 函式表示法：
—最大值，反映正弦量在整個變化過程中所能達到的最大值；—相位，反映正弦量變動的程序；—角頻率（），反映正弦量變化的快慢。—初相位，反映正弦量初值的大小、正負。，，—正弦量的三要素。
已知， 則。
2. 波形表示法
， 。當時，最大值點由座標原點左移。如下圖。
3.1.2兩個同頻率正弦量的相位差
設則u(t)與i(t)的相位差
可見，對兩個同頻率的正弦量來說，相位差在任何瞬時都是乙個常數，即等於它們的初相之差，而與時間無關。φ的單位為rad(弧度)或 (度)。主值範圍為|φ|≤π。
如果φ＝ψu ψi>0 (如下圖所示)，則稱電壓u的相位超前電流i的相位乙個角度度φ，簡稱電壓u超前電流i角度φ，意指在波形圖中，由座標原點向右看，電壓u先到達其第乙個正的最大值，經過φ，電流i到達其第乙個正的最大值。反過來也可以說電流i滯後電壓u角度φ。
如果φ＝ψu ψi＜0，則結論剛好與上述情況相反，即電壓u滯後電流i乙個角度|φ|，或電流i超前電壓u乙個角度|φ|。
又設 （1） 當，則，與同相。如下圖φ＝ψu ψi=0 。
（2） 當，，與正交。如下圖（這裡φ=ψ－ψ2＝+π/2）
（3） 當, ,與反相。
注意：1. 函式表達形式應相同，均採用sin或sin形式表示。如
2. 函式表示式前的正、負號要一致。當。
3. 當兩個同頻率正弦量的計時起點(即波形圖中的座標原點)改變時，它們的初相也跟著改變，但它們的相位差卻保持不變。所以兩個同頻率正弦量的相位差與計時起點的選擇無關。
3.1.3正弦量的有效值
—任意週期函式
—方均根值
可見，週期量的有效值等於它的瞬時值的平方在乙個週期內積分的平均值取平方根。因此，有效值又稱為方均根值。
當週期量為正弦量時，將代人上式得
其中所以
只適用於正弦量
這樣正弦量的數學表示式寫為。
因此，正弦量的有效值可以代替最大值作為它的乙個要素。
對於正弦電流i＝imsin(ωt+φi) 的有效值為
i=im/=0.707im
同理，正弦電壓u＝umsin(ωt+φu)的有效值為
u＝um /＝0.707um
在工程上，一般所說的正弦電壓、電流的大小都是指有效值。例如交流測量儀表所指示的讀數、交流電氣裝置銘牌上的額定值都是指有效值。我國所使用的單相正弦電源的電壓u=220v，就是正弦電壓的有效值，它的最大值um＝u＝1.
414×220＝311v。
應當指出，並非在一切場合都用有效值來表徵正弦量的大小。例如，在確定各種交流電氣裝置的耐壓值時，就應按電壓的最大值來考慮。
3.2 正弦量的相量表示法
3.2.1相量
令正弦量，根據尤拉公式，可知取則
於是 最大值相量。
可以表示乙個正弦量的復值常數稱為相量。
—有效值相量
上述表明，可以通過數學的方法，把乙個實數域的正弦時間函式與乙個複數域的復指數函式一一對應起來，而復指數函式的復常數部分是用正弦量的有效值（最大值）和初相結合成乙個複數表示出來的。運用相量進行正弦穩態電路的分析和計算，可同時將正弦量（最大值）的有效值和初相計算出來。有效值（最大值）上方加的小圓點是用來與普通複數相區別的記號，在數**算上與一般複數的運算並無區別。
相量既然是複數，它也可以在復平面上用一條有向線段表示。如下圖所示為正弦電流i＝isin (ωt+ψi)的相量，其中ψi＞0。相量的長度是正弦電流的有效值i，相量與正實軸的夾角是正弦電流的初相。
這種表示相量的圖稱為相量圖。為了簡化起見，相量圖中不畫出虛軸，而實軸改畫為水平的虛線，如下圖所示。
同頻率正弦量的相量運算
同頻率正弦量的加減法
例1：，。求。
解： 上述計算也可以根據平行四邊形法則在相量圖上進行。
相量的加減法只對應同頻率正弦量的加減法。
3.2.2 電路定律的相量形式
1．kcl的相量形式
kcl時域形式ik =0
當線性正弦穩態電路的電流都是同頻率的正弦量時，
因此，在所有時刻，對任一節點的kcl可表示為
於是很容易推導出kcl的相量形式，即
kcl的相量形式
其中mk = imk = imk /ψik k = ik = ik /ψik
為流出該節點的第k條支路正弦電流ik對應的相量。
2．kvl的相量形式
同理，在正弦穩態電路中，沿任一回路，kvl可表示為
mk = 0 k = 0 kvl的相量形式
式中mk、k為迴路中第k條支路的電壓相量。
必須強調指出，kcl、kvl的相量形式所表示的是相量的代數和恆等於零，並非是有效值的代數和恆等於零。
3.3 r、l、c的相量模型
在正弦穩態電路中，三種基本電路元件r、l、c的電壓、電流之間的關係都是同頻率正弦電壓、電流之間的關係，所涉及的有關運算都可以用相量進行，因此這些關係的時域形式都可以轉換為相量形式。
3.3.1正弦交流電路中的電阻元件
1．伏安特性
在電壓和電流的參考方向關聯時，電阻r的伏安關係的時域形式
當正弦電流ir＝irsin(ωt+ψi)通過電阻r時，
則 電壓、電流的最大值(有效值)之間符合歐姆定律；
與同相令： 則在電壓和電流關聯參考方向下電阻的伏安關係的相量形式為
線性電阻的相量電路、相量圖如下。
2. 功率：
瞬時功率：
由於瞬時功率p是由同一時刻的電壓與電流的乘積來確定的，因此當流過電阻r的電流為ir (t)＝irmsin(ωt+ψi)時，電阻所吸收的瞬時功率為
常量兩倍於原頻率的正弦量
可以看出，電阻吸收的功率是隨時間變化的，但pr始終大於或等於零，表明了電阻的耗能特性。上式還表明了電阻元件的瞬時功率包含乙個常數項和乙個兩倍於原電流頻率的正弦項，即電流或電壓變化乙個迴圈時，功率變化了兩個迴圈。瞬時功率的波形圖如下圖所示。
平均功率：
瞬時功率在一週期內的平均值稱為平均功率，記為p，即
在正弦穩態電路中，我們通常所說的功率都是指平均功率而言。平均功率又稱為有功率。它們的單位為w。
3.3.2正弦交流電路中的電感元件
1．伏安特性
當電壓和電流參考方向關聯時，電感l伏安關係的時域形式為
當正弦電流通過電感l時
可見 電壓、電流的最大（有效）值之間符合歐姆定律。
感抗值電壓超前電流
伏安關係的相量形式
上述式表明：
★在正弦電流電路中，線性電感的電壓和電流在瞬時值之間不成正比，而在有效值之間、相量之間成正比。
★此時電壓與電流有效值之間的關係不僅與l有關，還與角頻率ω有關。當l值不變，流過的電流值il一定時，ω越高則ul越大；ω越低則ul越小。當ω＝0(相當於直流激勵)時，ul＝0，電感相當於短路。
★在相位上電感電壓超前電流90。
線性電感的相量電路如下。
線性電感中正弦電壓和電流的相量圖圖(a)所示。
(a)2. 功率：
① 瞬時功率：
當電感兩端的電壓為ul(t)＝ulcosωt，流過電感的電流為il(t)＝il cos(ωtπ/2)時，則瞬時功率為
pl (t)＝ul il = 2ulil cosωtsinωt
= ulil sin2ωt
正弦穩態電路中電感元件瞬時功率的波形圖如下圖所示。
② 平均功率
瞬時功率pl (t)僅為乙個兩倍於原電流頻率的正弦量，其平均值為零，即
pl＝0
也即在正弦電流電路中，電感元件不吸收平均功率。
③ 無功功率：
為了描述電感元件與外部能量交換的規模，引入無功功率的概念。電感元件與外部能量交換的最大速率(即瞬時功率的振幅)定義為無功功率
單位④ 能量
電感元件的瞬時能量則為
wl (t)＝lil2(t) ＝l(il sinωt)2＝lil2 (1－cos2ωt)
電感貯能的平均值
wl＝l il2
由電感的功率及其能量的波形圖看出，當pl＞0時，電感吸收能量，其貯能增長；當pl＜0時，電感輸出能量，其貯能減少。而電感的貯能在0與lil2之間變動。在正弦穩態電路中，電感元件與外部電路總間不斷進行能且交換的現象，是由電感的貯能本質所確定的。
3.3.3正弦交流電路中的電容元件
1. 伏安關係
當電壓和電流參考方向關聯時，電容c的伏安關係的時域形式為
當正弦電壓加於電容c上時，
可見 電流最大（有效值）之間也符合歐姆定律。
—容抗值
滯後伏安關係的相量形式
線性電容的相量電路如下。
c的相量模型
線性電容中正弦電壓和電流的相量圖如圖(a)所示。
(a2. 功率
① 瞬時功率：
當電容兩端的電壓為uc(t)＝uc m cosωt，流過電容的電容ic(t)＝ic m cos(ωt+π/2)時，則瞬時功率為
pc(t)＝uc ic＝－2uc ic sinωt cosωt＝－uc ic sin2ωt
正弦穩態電路中電容瞬時功率的波形圖如下圖所示。
② 平均功率： —c不吸收功率顯而易見，電容元件的平均功率為零，即
pc =0
正弦交流電路
3 1已知正弦電流的波形如圖3 1所示，頻率為50hz，試指出它們的最大值，初相位以及它們之間的相位差，並說明哪個正弦量超前，超前多少角度？超前多少時間？解 電壓超前電流135 3 2 某正弦電流的頻率為20hz，有效值為5a，在t 0時，電流的瞬時值為5a，且此時刻電流在增加，求該電流的瞬時值表示...
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單相正弦交流電路
課題 6.1正弦交流電路的基本物理量 教學目標 描述正弦交流電的基本概念。了解正弦量的三要素。教學重點 正弦交流電的三要素。教學難點 正弦交流電的角頻率 有效值 相位 初相位和相位差。教學過程 一 複習 正弦函式及表達形式。二 引入新課 本節內容是正弦交流電的基礎知識，是單相正弦和三相正弦交流電路的...