1. 高考試題中，關於函式與導數的解答題(從巨集觀上)有以下題型：
（1）求曲線在某點出的切線的方程
（2）求函式的解析式
（3）討論函式的單調性，求單調區間
（4）求函式的極值點和極值
（5）求函式的最值或值域
（6）求引數的取值範圍
（7）證明不等式
（8）函式應用問題
2. 在解題中常用的有關結論（需要熟記）：
（1）曲線在處的切線的斜率等於，且切線方程為。
（2）若可導函式在處取得極值，則。反之不成立。
（3）對於可導函式，不等式的解是函式的遞增（減）區間。
（4）函式在區間上遞增（減）的充要條件是：恆成立（不恒為）.
（5）若函式在區間上有極值，則方程在區間上有實根且非二重根。（若為二次函式且，則有）。
（6）若函式在區間上不單調且不為常量函式,則在上有極值。
（7）若恒成立，則；若恒成立，則
（8）若使得，則；若使得，則.
（9）設與的定義域的交集為，若恒成立，則有.
（10）若對恆成立，則.
若對，使得，則.
若對，使得，則.
（11）已知在區間上的值域為,在區間上值域為，若對使得成立，則。
（12）若三次函式有三個零點，則方程有兩個不等實根且
（13）證題中常用的不等式:
①（僅當時取「」）
②（僅當時取「=」）③④
⑤⑥⑦3. 函式與導數解答題常見題型的解法
（1）已知曲線（含引數）的切線方程為，求引數的值
【解法】先設切點座標為，求出切線方程
再與已知切線方程比較係數得:, 解此方程組可求引數的值
（2）已知函式（含引數），討論函式的單調性
【解法】先確定的定義域，並求出，觀察能否恆大於或等於（恆小於或等於），如果能，則求引數的範圍，討論便從這裡開始，當引數在上述範圍以外取值時，令，求根.再分層討論，是否在定義域內或討論的大小關係，再列表討論，確定的單調區間。（大多數函式的導函式都可以轉化為乙個二次函式，因此討論函式單調性問題又往往是討論二次函式在某一區間上的符號問題）
（3）已知函式（含引數）在區間上有極值，求引數的取值範圍.
【解法】函式在區間上有極值，可轉化為方程在區間上有實根，且為非二重根。
從而確定引數（或其取值範圍）。
（4）可導函式（含引數）在區間上無極值，求引數的取值範圍
【解法】在區間上無極值等價於在區間在上是單調函式，進而得到或在上恆成立
（5） 函式（含單個或多個引數）僅在時取得極值，求引數的範圍
【解法】先由，求引數間的關係，再將表示成=，再由恒成立，求引數的範圍。（此類問題中一般為三次多項式函式）
（6） 函式（含引數）在區間上不單調，求引數的取值範圍
【解法一】轉化為在上有極值。（即在區間上有實根且為非二重根）。
【解法二】從反面考慮：假設在上單調則在i 上恆成立，求出引數的取值範圍，再求引數的取值範圍的補集
（7）已知函式（含引數），若，使得成立，求引數的取值範圍.
【解法一】轉化為在上的最大值大於（最小值小於）
【解法二】從反面考慮：假設對恆成立則 （）,求引數的取值範圍，再求引數的取值範圍的補集
（8）含引數的不等式恆成立，求引數的取值範圍
【解法一】分離引數求最值
【解法二】建構函式用影象
注：對於多變數不等式恆成立，先將不等式變形，利用函式的最值消變元，轉化為單變數不等式恆成立問題
（9）可導函式（含引數）在定義域上存在單調遞增(減)區間， 求引數的範圍.
【解法】等價轉化為在定義域上有解即使成立
（1）可用分離引數法（2）利用影象及性質
（10）證明不等式
【解法】建構函式並確定定義域，考察在上的單調性（注意區間端點的函式值）或者求在上的最值
注：對於含有正整數的帶省略號的不定式的證明，先觀察通項，聯想基本不定式，確定要證明的函式不定式，再對自變數賦值，令分別等於,把這些不定式累加，可得要證的不定式。）
1.已知函式，實數滿足，設.
（1）當函式的定義域為時，求的值域；
（2）求函式關係式，並求函式的定義域；
（3）求的取值範圍.
（1）若，令1分
在上為增函式 ……2分
；， ……3分
值域為4分
（2）實數滿足，則，
則， ……6分
而，，故7分
由題意，，則，故8分
又， 即，故，當且僅當時取得等號9分
綜上10分
（3）12分
令 當恆成立14分
故在單調遞增，，故. ……16分
2.已知函式。
（1）若f（x）的圖象與g（x）的圖象所在兩條曲線的乙個公共點在y軸上，且在該點處兩條曲線的切線互相垂直，求b和c的值。
（2）若a＝c＝1，b＝0，試比較f（x）與g（x）的大小，並說明理由；
（3）若b＝c＝0，證明：對任意給定的正數a，總存在正數m，使得當x時，
恒有f（x）＞g（x）成立。
解:，時5分
①時，，，即
②時，，，即
③時，令,則.
設，則，
當時,單調遞減;當時,單調遞增.
所以當時,取得極小值, 且極小值為
即恆成立，故在上單調遞增,又,
因此,當時, ,即9分
綜上，當時,；當時,；當時,． ……10分
⑶證法一：①若，由⑵知，當時,.即，
所以，時，取，即有當，恒有.
②若,即，等價於即
令,則.當時,在內單調遞增.
取,則，所以在內單調遞增.
又即存在,當時，恒有15分
綜上，對任意給定的正數，總存在正數，使得當，恒有. ……16分
證法二：設，則，
當時，，單調減，當時，，單調增，
故在上有最小值12分
①若，則在上恆成立，
即當時，存在，使當時,恒有；
②若，存在，使當時,恒有；
③若，同證明一的15分
綜上可得，對任意給定的正數，總存在,當時,恒有16分
設函式在點處的切線方程為.
(1)求實數及的值；
(2)求證：對任意實數，函式有且僅有兩個零點.
4.已知函式，；（取為，取為，取）
（1）若函式在上單調遞增，求實數的取值範圍；
（2）若直線是函式圖象的切線，求的最小值；
（3）當時，若與的圖象有兩個交點、，求證：．
解析：（1）由，得；
∵在上遞增，∴對，都有，（求出導數給2分）
即對，都有，∵，∴；
故實數的取值範圍是4分（無等號的扣1分）
（2）設切點，則切線方程為：，
即，亦即，
令，由題意得；…………… 7分
令，則，
當時，在上遞減；當時，在上遞增，
∴，故的最小值為10分
（3）由題意知：，，兩式相加得：，
兩式相減得：，即，
∴，即，……… 12分
不妨令，記，令，則，
∴在上遞增，則，
∴，則，∴，
又，∴，即，
令，則時，，∴在上單調遞增，
又，∴，
∴，即16分
已知函式，其中為自然對數底數.
（1）當時，求函式在點處的切線方程；
（2）討論函式的單調性，並寫出相應的單調區間；
（3）已知，若函式對任意都成立，求的最大值.
解：（1）當時2分
∴函式在點處的切線方程為，
即4分（2）∵，
①當時，，函式在上單調遞增6分
②當時，由得，
∴時，，單調遞減；時，，單調遞增．
綜上，當時，函式的單調遞增區間為；當時，函式的單調遞增區間為，單調遞減區間為9分
（3）由（2）知，當時，函式在上單調遞增，
∴不可能恆成立10分
當時，，此時11分
當時，由函式對任意都成立，得，
13分∴，
設，∴，
由於，令，得，，
當時，，單調遞增；時，，單調遞減．
∴，即的最大值為，
16分5.此時若函式在處取得極大值或極小值，則稱為函式的極值點.
已知函式
當時，求的極值；
若在區間上有且只有乙個極值點，求實數的取值範圍.
已知函式，.
（1）設.
① 若函式在處的切線過點，求的值；
② 當時，若函式在上沒有零點，求的取值範圍；
（2）設函式，且，求證：當時，.
解：（1）由題意，得，
所以函式在處的切線斜率2分
又，所以函式在處的切線方程，
將點代入，得4分
（2）方法一：當，可得，因為，所以，
①當時，，函式在上單調遞增，而，
所以只需，解得，從而6分
②當時，由，解得，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.
所以函式在上有最小值為，
令，解得，所以.
綜上所述10分
方法二：當，
①當時，顯然不成立；
②當且時，，令，則，當時，，函式單調遞減，時，，函式單調遞減，當時，，函式單調遞增，又，，由題意知
（3）由題意，，
而等價於，
令12分
函式與導數知識點小結
1 對映 注意 第乙個集合中的元素必須有象 一對一，或多對一。2 函式值域的求法 分析法 配方法 判別式法 利用函式單調性 換元法 利用均值不等式 利用數形結合或幾何意義 斜率 距離 絕對值的意義等 利用函式有界性 等 導數法 3 復合函式的有關問題 1 復合函式定義域求法 若f x 的定義域為 a...
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