例1： 已知：如圖，△abc中，ab＝ac，bd⊥ac於d．
求證： bc2＝2cd·ac．
例2．已知梯形中，，，是腰上的一點，鏈結
（1）如果，，，求的度數；
（2）設和四邊形的面積分別為和，且，試求的值
例3．如圖4-1，已知平行四邊abcd中，e是ab的中點，，連e、f交ac於g．求ag：ac的值．
例4、如圖4—5，b為ac的中點，e為bd的中點，則af：ae
例5、如圖4-7，已知平行四邊形abcd中，對角線ac、bd交於o點，e為ab延長線上一點，oe交bc於f，若ab=a，bc=b，be=c，求bf的長．
例6、已知在△abc中，ad是∠bac的平分線．求證：．
相似三角形新增輔助線的方法舉例答案
例1： 已知：如圖，△abc中，ab＝ac，bd⊥ac於d．
求證： bc2＝2cd·ac．
分析：欲證 bc2＝2cd·ac，只需證．但因為結論中有「2」，無法直接找到它們所在的相似三角形，因此需要結合圖形特點及結論形式，通過新增輔助線，對其中某一線段進行倍、分變形，構造出單一線段後，再證明三角形相似．由「2」所放的位置不同，證法也不同．
證法一（構造2cd）：如圖，在ac擷取de＝dc，
∵bd⊥ac於d，
∴bd是線段ce的垂直平分線，
∴bc=be，∴∠c=∠bec，
又∵ ab＝ac，
∴∠c=∠abc．
∴ △bce∽△acb．
∴， ∴
∴bc2＝2cd·ac．
證法二（構造2ac）：如圖，在ca的延長線上擷取ae＝ac，鏈結be，
∵ ab＝ac，
∴ ab＝ac=ae．
∴∠ebc=90°，
又∵bd⊥ac．
∴∠ebc=∠bdc=∠edb=90°，
∴∠e=∠dbc，
∴△ebc∽△bdc
∴即∴bc2＝2cd·ac．
證法三（構造） ：如圖，取bc的中點e，鏈結ae，則ec=．
又∵ab=ac，
∴ae⊥bc，∠ace=∠c
∴∠aec=∠bdc=90°
∴△ace∽△bcd．
∴即．∴bc2＝2cd·ac．
證法四（構造）：如圖，取bc中點e，鏈結de，則ce= ．
∵bd⊥ac，∴be=ec=eb，
∴∠edc=∠c
又∵ab=ac，∴∠abc=∠c，
∴△abc∽△edc．
∴j即．
∴bc2＝2cd·ac．
說明：此題充分展示了新增輔助線，構造相似形的方法和技巧．在解題中方法要靈活，思路要開闊．
例2．已知梯形中，，，是腰上的一點，鏈結
（1）如果，，，求的度數；
（2）設和四邊形的面積分別為和，且，試求的值
（1）設，則
解法1 如圖，延長、交於點
為的中點
又 ，又為等邊三角形故
解法2 如圖
作分別交、於點、
則，得平行四邊形
同解法1可證得為等邊三角形
故解法3 如圖
作交於，交的延長線於
作，分別交、於點、
則，得矩形
，又 ，故為、的中點
以下同解法1可得是等邊三角形
故解法4 如圖，
作，交於，作，交於，得平行四邊形，且
讀者可自行證得是等邊三角形，故
解法5 如圖
延長、交於點，作，分別交、於點、，得平行四邊形
可證得為的中點，則，故
得為等邊三角形，故
解法6 如圖（補形法），
讀者可自行證明是等邊三角形，
得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和
一、等積法等）
（2）設，則
解法1（補形法）如圖
補成平行四邊形，鏈結，則
設，則，
由得，，
解法2 （補形法）如圖，延長、交於點，
，，又設，則，，
， 解法3（補形法）如圖
鏈結，作交延長線於點
鏈結則∽，故（1）
， 故（2）
由（1）、（2）兩式得即
解法4（割補法）如圖
鏈結與的中點並延長交延長線於點，如圖，過、分別作高、，則且，
，又， ，故
說明本題綜合考查了等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，解題關鍵是作輔助線，構造相似三角形.
例3．如圖4-1，已知平行四邊abcd中，e是ab的中點，，連e、f交ac於g．求ag：ac的值．
解法1： 延長fe交cb的延長線於h，
∵ 四邊形abcd是平行四邊形，∴ ，∴ ∠h=∠afe，∠dab=∠hbe
又ae=eb，∴ △aef≌△beh，即af=bh，
∵ ，∴ ，即．
∵ ad∥ch，∠agf=∠cgh，∠afg=∠bhe，∴ △afg∽△cgh．∴ ag：gc=af：ch，
∴ ag：gc=1：4，∴ ag：ac=1：5．
解法2： 如圖4—2，延長ef與cd的延長線交於m，由平行四邊形abcd可知，，即ab∥mc，
∴ af：fd=ae：md，ag：gc=ae：mcaf：fd=1：2，
∴ ae：md=1：2．
∵ ．∴ ae：mc=1：4，即ag：gc=1：4，
∴ ag：ac=1：5
例4、如圖4—5，b為ac的中點，e為bd的中點，則af：ae
解析：取cf的中點g，連線bg．∵ b為ac的中點，
∴ bg：af=1：2，且bg∥af，又e為bd的中點，
∴ f為dg的中點．
∴ ef：bg=1：2．
故ef：af=1：4，∴ af：ae=4：3．
例5、如圖4-7，已知平行四邊形abcd中，對角線ac、bd交於o點，e為ab延長線上一點，oe交bc於f，若ab=a，bc=b，be=c，求bf的長．
解法1： 過o點作om∥cb交ab於m，
∵ o是ac中點，om∥cb，
∴ m是ab的中點，即，
∴ om是△abc的中位線，，
且om∥bc，∠efb=∠eom，∠ebf=∠emo．
∴ △bef∽△moe，∴，
即，∴.
解法2： 如圖4-8，延長eo與ad交於點g，則可得△aog≌△cof，
∴ ag=fc=b-bf，∵ bf∥ag，∴．即，
解法3： 延長eo與cd的延長線相交於n，則△bef與△**f的對應邊成比例，即．
解得.例6、已知在△abc中，ad是∠bac的平分線．求證：．
分析1 比例線段常由平行線而產生，因而研究比例線段問題，常應注意平行線的作用，在沒有平行線時，可以新增平行線而促成比例線段的產生．此題中ad為△abc內角a的平分線，這裡不存在平行線，於是可考慮過定點作某定直線的平行線，新增了這樣的輔助線後，就可以利用平行關係找出相應的比例線段，再比較所證的比例式與這個比例式的關係，去探求問題的解決．
證法1： 如圖4—9，過c點作ce∥ad，交ba的延長線於e．
在△bce中，∵ da∥ce
又∵ ce∥ad，∴ ∠1=∠3，∠2=∠4，且ad平分∠bac，
∵ ∠1=∠2，於是∠3=∠4，
∴ ac=ae．代入②式得．
分析2 由於bd、cd是點d分bc而得，故可過分點d作平行線．
證法2： 如圖4—10，過d作de∥ac交ab於e，則∠2=∠3．
∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠3．
於是ea=ed．
又∵，∴ ，∴ .
分析3 欲證式子左邊為ab：ac，而ab、ac不在同一直線上，又不平行，故考慮將ab轉移到與ac平行的位置．
證法3： 如圖4—11，過b作be∥ac，交ad的延長線於e，則∠2=∠e．
∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠e，ab=be．
又∵，∴ .
分析4 由於ad是∠bac的平分線，故可過d分別作ab、ac的平行線，構造相似三角形求證．
證法4 如圖4—12，過d點作de∥ac交ab於e，df∥ab交ac於f．
易證四邊形aedf是菱形．則 de=df．
由△bde∽△dfc，得．
又∵ ，∴ .
全等三角形中常見輔助線的新增方法舉例
一 有角平分線時，通常在角的兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形。例 如圖1 已知ad為 abc的中線，且 1 2,3 4,求證 be cf ef。分析 要證be cf ef，可利用三角形三邊關係定理證明，須把be，cf，ef移到同乙個三角形中，而由已知 1 2，3 4，可在角的兩邊擷取相等的線段，利...
全等三角形中的常見輔助線的新增方法舉例
一 有角平分線時，通常在角的兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形。例 如圖1 已知ad為 abc的中線，且 1 2,3 4,求證 be cf ef。二 有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。例 如圖2 ad為 abc的中線，且 1 2，3 4，求證 be cf ef 三 有三角...
常見全等三角形中新增輔助線方法
1 有角平分線時，通常在角的兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形 例如 如圖，已知ad為 abc的中線，且 1 2,3 4,求證 be cf ef。分析 要證be cf ef 可利用三角形三邊關係定理證明，須把be，cf，ef移到同乙個三角形中，而由已知 1 2，3 4，可在角的兩邊擷取相等的線段，利...