全等三角形中常見輔助線的新增方法舉例

一．有角平分線時，通常在角的兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形。

例：如圖1：已知ad為△abc的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：be＋cf＞ef。

分析：要證be＋cf＞ef，可利用三角形三邊關係定理證明，須把be，cf，ef移到同乙個三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊擷取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把en，fn，ef移到同乙個三角形中。

二、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。

例：：如圖2：ad為△abc的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：be＋cf＞ef

三、有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。

例：如圖3：ad為 △abc的中線，求證：ab＋ac＞2ad。

圖3分析：要證ab＋ac＞2ad，由圖想到：ab＋bd＞ad,ac＋cd＞ad，

所以有ab＋ac＋bd＋cd＞ad＋ad＝2ad，左邊比要證結論多bd＋cd，故不能直接證出此題，

而由2ad想到要構造2ad，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同乙個三角形中去。

練習：已知△abc，ad是bc邊上的中線，分別以ab邊、ac邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4，求證ef＝2ad

四、截長補短法作輔助線。

例如：已知如圖5：在△abc中，ab＞ac，∠1＝∠2，p為ad上任一點。

求證：ab－ac＞pb－pc。

分析：要證：ab－ac＞pb－pc，想到利用三角形三邊關係定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小於第三邊，從而想到構造第三邊ab－ac，故可在ab上擷取an等於ac，

得ab－ac＝bn，再連線pn，則pc＝pn，又在△pnb中，pb－pn＜bn，即：ab－ac＞pb－pc。

五、延長已知邊構造三角形：

例如：如圖6：已知ac＝bd，ad⊥ac於a ，bc⊥bd於b，

求證：ad＝bc

分析：欲證ad＝bc，先證分別含有ad，bc的三角形全等，有幾種方案：△adc與△bcd，△aod與△boc，△abd與△bac，但根據現有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設法作出新的角，

且讓此角作為兩個三角形的公共角。

六、連線四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。

例如：如圖7：ab∥cd，ad∥bc 求證：ab=cd。

分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關知識，必須把它轉化為三角形來解決。

七有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。

例如：如圖8：在rt△abc中，ab＝ac，∠bac＝90°，∠1＝∠2，ce⊥bd的延長於e 。

求證：bd＝2ce

圖8分析：要證bd＝2ce，想到要構造線段2ce，同時ce與∠abc的平分線垂直，想到要將其延長。

八、連線已知點，構造全等三角形。

例如：已知：如圖9；ac、bd相交於o點，且ab＝dc，ac＝bd，求證：∠a＝∠d。

分析：要證∠a＝∠d，可證它們所在的三角形△abo和△dco全等，而只有ab＝dc和對頂角兩個條件，差乙個條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由ab＝dc，ac＝bd，若連線bc，則△abc和△dcb全等，所以，證得∠a＝∠d。

九、取線段中點構造全等三有形。

例如：如圖10：ab＝dc，∠a＝∠d 求證：∠abc＝∠dcb。

分析：由ab＝dc，∠a＝∠d，想到如取ad的中點n，連線nb，nc，再由sas公理有△abn≌△dcn，故bn＝cn，∠abn＝∠dcn。下面只需證∠nbc＝∠ncb，再取bc的中點m，連線mn，則由sss公理有△nbm≌△ncm，所以∠nbc＝∠ncb。

問題得證。