另乙個方面呢，對新增加的難度較大的內容、抽象的數學概念，又要運用學生易於理解的方法加以呈現，有些不必在形式化表示上作過高的要求。比如說「導數」的教學，教學這個要求呢是怎樣的建議的呢？請你講一下。
主持人：有如下幾個建議：第乙個，導數概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。
教學中，可以通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等反映導數應用的例項，引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，知道瞬時變化率就是導數。通過感受導數在研究函式和解決實際問題中的作用，體會導數的思想及其內涵。這樣處理的目的是幫助學生直觀理解導數的背景、思想和作用。
第二個，在導數的概念建立之後，要認真引導學生運用定義推導幾個常見初等函式的導數公式，要注意形式化訓練中的規範要求，從而加深對導數概念的認識和理解，並從中領悟求導數這一演算法的基本思想。
主持人：也就是說學生的認知基礎實際上是學生原有的知識水平，即學生學習新知的心理乙個過程。
石：哎，對。
主持人：好，《課程標準》、《教學要求》及教材中都沒有「三垂線定理」，石老師，是吧？
石：嗯，對。
主持人：那有些教師認為這些內容很重要，你認為這些內容是否應該補充呢？
石：我覺得呢，在《教學要求》當中，已經刪減掉的一些內容，我們是必須要慎重的考慮的，刪減的理由、依據，啊，因此呢，我就要講了，我們要深刻的領會制定《教學要求》的意圖，充分發揮《教學要求》對教學的指導的意義。儘管我們認為呢要求不是一刀切的，上一講我們已經談論過這個問題，啊，對數學有特殊興趣的學生可以適當拓展學習的內容、深化對學習內容的研究，但，在平常的教學中，我們還是主張不要隨意的超《要求》，因為理科學生這個學習的內容並不少，不能因為教師的拓展增加了學習的負擔。
更不能隨意在教學內容上面「深挖洞」。比如說，在函式部分，反函式、換底公式等內容在正常情況下就不要作全班性的教學要求，而對傳統的這個研究函式的定義域、值域、單調性、奇偶性的題型也沒有必要再講了。特別的，你剛才提到的這個「三垂線定理」的問題，我覺得更沒有必要講了，比如說，刪去「垂線定理」，針對課標教材，對角和距離等問題定位於運用向量的工具進行處理，三垂線定理的功能已經不那麼，那麼重要了啊，如果是原來老的教材，對這個距離、角，空間的距離、角，它的處理方法基本上是……
主持人：幾何法。
石：哎，幾何法，它這種幾何法應該說經常運用三垂線定理，它就比較方便，現在呢，這種定理已經變化了。
主持人：我們都使用空間向量的計算來進行角和距離的問題。
石：哎，對，而對垂直等關係，這種位置關係的這樣乙個證明呢，直接運用判定定理也並沒有增加難度，而且呢，更本質。
主持人：也就運用了直線垂直於平面這個定理，判定定理。
石：哎，對對，對對對，它反映了線線、線面、麵麵的垂直之間的這種內在的關係，應該說是更加本質的。對學生來說，有時，啊，並不是知識越多那就是越好的，對不對啊？
主持人：對，應該抓住問題的本質。
石：哎，對。
主持人：那麼，《課程標準》、《教學要求》及教材中都沒有「兩條直線的夾角」這一知識點，那麼，是否可以認為高考試卷解析幾何部分一定不會出現角的問題呢？
石：你這個問題呢，提出了《教學要求》與高考這個命題之間的這麼一種關係。這個，我覺得呢，就是，我們在考慮《教學要求》方面是要全面考慮高中數學的教學內容，這是第一點，比如說，額，剛才你講的這個就是不少老師都提出了這樣的問題，就是解析幾何部分，兩條直線的夾角，這個知識點已經沒有了，啊，定比分點，這些東西也沒有了，對不對啊，那麼，是不是這樣的內容，啊，這個特別是解析幾何的這一部分，以後就不會考與角有關的問題了呢，而且呢，有一部分老師呢，這個像08年高考，考到了空間當中的，相當於定比分點的這種問題，也提出了這個呢，異議啊，提出了異議啊，所以呢，我個人的看法，我是覺得啊，因為必修內容當中有平面向量、解三角形這兩章的內容，而這兩章當中啊，都有處理「角」的問題的相關的工具。
主持人：對，平面向量的數量積，以及正弦定理和餘弦定理。
石：對啦，有這麼多的處理角的這麼乙個工具，所以呢，在任何高中數學內容當中，只要能夠通過這些知識進行表徵的那些角的這些問題呢，即使相關的模組當中沒有角的知識點，我覺得，也是可以考查的。
主持人：也就是跨模組的知識的運用。
石：哎，對，第二個呢，因為新增加了較多的內容，這些新增加的內容對傳統的內容的教學定位也產生了一些影響，這就是我為什麼要講，要全面考察這個高中的教學的這個內容，比如說，這個《課程標準》跟《教學要求》當中都增加了比較多的關於導數的這個內容，而導數在研究函式性質的時候呢是有比較強大的作用的，因此，它就對我們一些傳統的處理函式問題，比如說函式當中的單調性、值域、最值等等的這種型別問題的處理的這個一些技巧啊，那些東西，實際上就已經不需要了，不需要了，哎，我們運用導數就能夠很容易解決這些型別的問題了，所以，在考慮到這些因素的時候，那麼函式部分，我們是否還有必要去對那些特殊的一些技巧再去進行介紹呢，我覺得也就沒有必要了。所以，這是教學當中啊必須關注的乙個問題。
主持人：也就是說我們真的要注意知識的連貫性、和加強它們之間的聯絡。
石：哎，對。
主持人：石老師，你能否跟我們再談一下《教學要求》與高考命題之間的關係呢？這是很多老師關心的問題。
石：哎，其實上乙個問題呢，也這個，也提到了這個方面，這個，乙個呢，我覺得呢，我們應該認真的研讀這個《教學要求》，應為呢《教學要求》當中對考試的要求其實也有闡述。比如說，在必修2當中就有這樣一段話，它說：
「在教學中，要求對有關線面平行、垂直關係的性質定理進行證明，使學生體會證明的過程與方法；而線面平行、垂直關係的判定定理只要求直觀感知、操作確認，教學中不作提高要求，不要作提高要求，這是對教學的。然後下面，它就講了，就是教材中的例題、習題中的結論，包括三垂線定理等不作為推理的依據。」這就是對我們這個高考的時候的一些這個注意的一些問題呢，事實上它已經提出了要求了。
第二個，有些內容呢要全面審視《課程標準》、《教學要求》和教材，不能機械的認識。比如說上面我們講的角，對不對啊，再比如說，這個《教學要求》當中啊，「求曲線方程」是這樣說明的：「了解曲線與方程的對應關係；了解求曲線方程的一般步驟，能求一些簡單曲線的方程；理解求直線與圓錐曲線的交點座標的方法；進一步體會數形結合的思想方法。
」這是選修2-1當中的，而選修1-1當中根本沒有提到這個問題。我們江蘇省的高考是選文科的乙個去定位的，它不是按照理科的選修2來定位的，對不對啊，那麼，現在遇到這樣的問題了，高考的時候能不能考求曲線方程這樣的問題呢？
主持人：2023年考過的。
石：哎，其實高考曾經考過這個問題，我想啊，無論是《課程標準》、《教學要求》，還是教材，都有直線的方程、圓的方程、圓錐曲線的方程，哎，在這些章節裡面都有這些方程的概念，這些方程的推倒的過程，對不對啊，這些方程的推倒的過程，都是有的，這個，學習了這麼多的解析幾何的內容，連解析幾何的兩個基本問題「求曲線方程」、「用方程研究曲線的性質」當中的前提性的，就是第乙個，這樣乙個基本的問題，所以這個東西，你在最基本的層面上都不會，怎麼能夠認為你掌握了解析幾何的基本的思想呢，方法呢？所以，我個人認為呢，這個高考考點必須是最簡單的、由直接法，就是教材當中推導圓、直線、圓錐曲線方程的那麼一些方法，哎，可以很容易求出的軌跡方程的問題呢，我覺得是可以的，可以的，特別的，對已知曲線的型別，就是叫你求直線方程，圓的方程，橢圓、雙曲線的方程，那你更應該會做，告訴你了曲線型別的，在這樣的前提下求曲線方程應該是沒有問題的。
主持人：那「暴露思維過程，揭示數學本質」，這是數學教學的基本原則，那問一下石老師：那《教學要求》對此是如何體現的呢？
石：在《教學要求》當中，這個方面呢，實際上是非常的重視的，《教學要求》當中在很多的地方提到了防止機械性、程式性地操作式的學習，剛才我們已經看到了這一點，對不對，比如說導數部分，哎，就是這樣的，哎，操作性的學習，而忽視了它的思想和價值，教學中，要注意嚴格控制難度，避免過量的形式化的運算練習、「要避免對邏輯用語的機械記憶和抽象解釋，對真值表不作要求。」、「教師應該講清楚這些數字特徵的作用和意義，不應把統計處理成數字運算和畫圖表，不必引導學生去**這些概念的確切意義，不應追求嚴格的這個形式化的定義。
」其實，講的這個《教學要求》當中啊，三番五次的去講這種具體性的要求，它的意圖很明顯，就是呢要求我們在教學當中要重視知識形成過程的教學，突出對數學本質的認識。比如導數，如果簡單地介紹一下導數的幾何意義及其求法，讓學生記住運算法則和相關的公式，接著就對幾種型別的應用問題進行專題性的訓練的話，就應付考試來說呢，應該說是足夠了，足夠了，甚至可能表現還更好一些了，但是這樣的學習過程並不能使學生認識導數的本質，對導數中蘊涵的極限思想、以直代曲的思想、逐步逼近的思想，不可能得到理解，這種結論式的學習、操作技能式的訓練並沒有實現教學內容應該具有的教學價值，可以說完全是一種無意義的學習。
再比如說，《教學要求》跟《課程標準》一樣，都安排了4課時學習複數的相關的知識。4課時能學到什麼？只安排4課時的原因是什麼？
即課程目標是什麼？如果從知識角度看，這點內容並沒有涉及複數內容當中應用價值最大的內容，從應試的角度看，這點內容呢也太簡單了。那麼，如何定位本章的教學呢？
其實，課程設定的目標應該是「通過數系的擴充和複數引入的教學，使學生了解數系擴充的過程以及引入複數的必要性，學習複數的一些基本知識；體會人類理性思維在數系擴充中的作用。」這裡更注重的是知識載體的文化的，文化的價值。這種價值追求在圓錐曲線、導數等內容的教學當中呢也是非常的重要的。
主持人：石老師，正如你在第一課時所說，目前部分教師教學的慣性思維較強，在「集合」新授教學中就將後面的、與集合語言有關係的知識前移講授，例如，一元二次不等式的解集，大大加大了學生的學習負擔，對此你有什麼看法呢？
石：這個，新課程的理念之一就是：分層推進、螺旋上公升。如果片面追求一次到位，反而可能不能到位。
比如，這個，對這個函式思想的認識就需要經歷四個階段：
這個從初中開始，第乙個階段，學生已經接受了一些初步的函式知識，掌握了一些簡單的函式的表示法、性質和圖象；
第二個階段就是我們數學的必修1，讓學生運用集合與對應的觀念建立函式的概念；
第三階段將學習，這個第三個階段呢，就是學習三角函式，建立刻畫週期性現象的數學模型；建立刻畫離散型的函式關係的數學模型，也就是數列；
第四個階段在選修課程當中，如導數及其應用、概率、引數方程等都仍然要涉及到函式知識的再認識，是對函式及其應用研究的深化和提高．比如說，運用導數研究函式，使得對函式概念的研究從巨集觀深入到微觀；概念中的這個概率當中的這個隨機變數將函式的認識從必然領域發展到了或然領域；而引數方程則將函式之間的直接關係延伸到了引數間接聯絡的這樣一種形式，對不對啊？
這種階段性既是學生認知發展的規律所決定的，也與數學內在的邏輯關係有關，還與數學的發展史密切相聯。所以，數學教學呢不能跨越階段、超越過程，必須循序漸進，經歷「過程」。
江蘇省普通高中數學課程標準教學要求
一 刪除 不作要求 的原則 1 孤立的知識點，刪除後不影響整體邏輯結構，對學生發展也不會發生影響。如統計案例。2 重疊的內容，與初中階段學習重疊，與資訊科技等課程重疊的內容。如三檢視。3 蜻蜓點水式的內容，現在給定的課時難以講解清楚，大學將系統學習，目前在中學學習尚不能看出特別明顯的優勢。如定積分，...
江蘇省普通高中數學課程標準教學要求1
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普通高中數學課程標準 實驗
第一部分前言 數學是研究空間形式和數量關係的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具。數學科學是自然科學 技術科學等科學的基礎，並在經濟科學 社會科學 人文科學的發展中發揮越來越大的作用。數學的應用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面，它與計算機技術的結合在許多方面直接為社會創造...