直線與方程總結
【知識點一：傾斜角與斜率】
（1）直線的傾斜角
①關於傾斜角的概念要抓住三點：1、與x軸相交；2、x軸正向；3、直線向上方向。
②直線與軸平行或重合時,規定它的傾斜角為
③傾斜角的範圍
（2）直線的斜率
①直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為的直線斜率不存在.
記作 ⑴當直線與軸平行或重合時, ,
⑵當直線與軸垂直時, ,不存在.
②經過兩點的直線的斜率公式是
③每條直線都有傾斜角，但並不是每條直線都有斜率.
（3）求斜率的一般方法：
①已知直線上兩點，根據斜率公式求斜率；
②已知直線的傾斜角或的某種三角函式根據來求斜率；
（4）利用斜率證明三點共線的方法：
已知，若，則有a、b、c三點共線。
【知識點二：直線平行與垂直】
（1）兩條直線平行：對於兩條不重合的直線，其斜率分別為，則有
特別地，當直線的斜率都不存在時，的關係為平行
（2）兩條直線垂直：如果兩條直線斜率存在，設為，則有
注：兩條直線垂直的充要條件是斜率之積為-1，這句話不正確；
由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直；反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，互相垂直.
【知識點三：直線的方程】
（1）直線方程的幾種形式
問題：過兩點的直線是否一定可用兩點式方程表示？ 【不一定】
(1)若，直線垂直於軸,方程為；
(2)若，直線垂直於軸,方程為；
(3)若，直線方程可用兩點式表示
直線的點斜式方程實際上就是我們熟知的一次函式的解析式；
利用斜截式求直線方程時，需要先判斷斜率存在與否.
用截距式方程表示直線時，要注意以下幾點：方程的條件限制為，即兩個截距均不能為零，因此截距式方程不能表示過原點的直線以及與座標軸平行的直線；用截距式方程最便於作圖，要注意截距是座標而不是長度.
截距與距離的區別：截距的值有正、負、零。距離的值是非負數。截距是實數，不是「距離」，可正可負。
截距式方程的應用
①與座標軸圍成的三角形的周長為: |a|+|b|+；
②直線與座標軸圍成的三角形面積為: s= ；
③直線在兩座標軸上的截距相等，則或直線過原點，常設此方程為
（2）線段的中點座標公式
【知識點四直線的交點座標與距離】
（1）兩條直線的交點
設兩條直線的方程是,
兩條直線的交點座標就是方程組的解。
①若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的座標；
②若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行.
（2）幾種距離
兩點間的距離：平面上的兩點間的距離公式
特別地，原點與任一點的距離
點到直線的距離：點到直線的距離
兩條平行線間的距離：兩條平行線間的距離
注:1求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式；
2求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為係數相同的一般形式後，才能套用公式計算。
【例】已知，，直線過原點o且與線段ab有公共點，則直線的斜率的取值範圍是（ ）
a bcd
【例】在座標平面內，與點a（1，2）距離為1，且與點b（3，1）距離為2的直線共有（ ）
a 1條 b 2條c 3條d 4條
【例】將直線l1：y=2x繞原點逆時針旋轉60°得直線l2，則直線l2到直線l3：x+2y﹣3=0的角為（ ）
a 30b 60c 120d 150°
【例】方程所表示的圖形的面積為
解：方程所表示的圖形是乙個正方形，其邊長為
【例】設，則直線恆過定點
【例】一直線過點，並且在兩座標軸上截距之和為，這條直線方程是
【例】已知a（1，2），b（3，4），直線l1：x=0，l2：y=0和l3：
x+3y﹣1=0、設pi是li（i=1，2，3）上與a、b兩點距離平方和最小的點，則△p1p2p3的面積是________
【例】已知直線（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1，為使這條直線不經過第二象限，則實數a的範圍是___ ___
【例】過點作一直線，使它與兩座標軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為。
【例】直線和軸，軸分別交於點，**段為邊在第一象限內作等邊△，如果在第一象限內有一點使得△和△的面積相等，求的值。
【例】已知點，，點在直線上，求取得最小值時點的座標。
【例】求函式的最小值。
【例】在△abc中，已知bc邊上的高所在直線的方程為x﹣2y+1=0，∠ a的平分線所在直線的方程為y=0．若點b的座標為（1，2），求點c的座標．
【例】直線l過點p（2，1），且分別與x ，y軸的正半軸於a，b兩點，o為原點．
（1）求△aob面積最小值時l的方程； （2）|pa||pb|取最小值時l的方程．
考點：本題考查直線在座標軸上的截距的定義，直線的截距式方程，以及基本不等式的應用．
【例】求傾斜角是直線y＝－x＋1的傾斜角的，且分別滿足下列條件的直線方程：
(1)經過點(，－1)；(2)在y軸上的截距是－5.
【例】已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0
(1)證明：直線l過定點；
(2)若直線l交x負半軸於a，交y正半軸於b，△aob的面積為s，試求s的最小值並求出此時直線l的方程。
【例】已知函式，g（x）=x+a（a＞0）
（1）求a的值，使點m（f（x），g（x））到直線x+y﹣1=0的最短距離為；
（2）若不等式在x∈[1，4]恆成立，求a的取值範圍。
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