含引數的一元二次不等式的解法
解含引數的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那麼如何討論呢？對含參一元二次不等式常用的分類方法有三種：
一、按項的係數的符號分類，即;
例1 解不等式：
分析：本題二次項係數含有引數，，故只需對二次項
係數進行分類討論。
解：∵解得方程兩根
∴當時,解集為
當時，不等式為,解集為
當時, 解集為
例2 解不等式
分析因為，，所以我們只要討論二次項係數的正負。
解當時，解集為；當時，解集為
二、按判別式的符號分類，即；
例3 解不等式
分析本題中由於的係數大於0,故只需考慮與根的情況。
解：∵ ∴當即時，解集為；當即δ＝0時，解集為；
當或即,此時兩根分別為，，顯然,
∴不等式的解集為
例4 解不等式
解因，所以當，即時，解集為；
當，即時，解集為；
當，即時，解集為r。
三、按方程的根的大小來分類，即；
例5 解不等式
分析：此不等式可以分解為：，故對應的方程必有兩解。本題只需討論兩根的大小即可。
解：原不等式可化為：，令，可得：，∴當或時， ，故原不等式的解集為；當或時，,可得其解集為；
當或時, ,解集為。
例6 解不等式，
分析此不等式，又不等式可分解為，故只需比較兩根與的大小.
解原不等式可化為：，對應方程的兩根為
，當時，即，解集為；當時，即，解集為
一元二次不等式參考例題（2）
1．(1)解不等式 （）
(2)不等式的解集為，求的值. （）
2．解下列關於的不等式：
（12）
（34）
（563．（1）若不等式對恆成立，求實數的取值範圍.（）
（2）若不等式的解集為，求實數的取值範圍.（）
4．（1）已知，
①若，求實數的取值範圍.；（）
②若，求實數的取值範圍.；（）
③若為僅含有乙個元素的集合，求的值.（）
（2）已知，，求實數的取值範圍.
(3) 關於的不等式與的解集依次為與，
若，求實數的取值範圍. （）
（4）設全集，集合，若，
求實數的取值範圍. （）
（5）已知全集，，
若，求實數的取值範圍.（）
一元二次不等式及其解法
1．二次函式的圖象及性質:二次函式的圖象的對稱軸方程是，頂點座標是．
2．二次函式的解析式的三種形式：
（一般式）；
（零點式）；
（頂點式）．
3．一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
設相應的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：
4．解一元二次不等式的步驟：
(1)將二次項係數化為「+」：a=>0(或<0)(a>0)；
(2)計算判別式，分析不等式的解的情況；
(3)寫出解集．
5．討論二次函式在指定區間上的最值問題：
(1)注意對稱軸與區間的相對位置．一般分為三種情況討論，即：①對稱軸在區間左邊，函式在此區間上具有單調性；②對稱軸在區間之內；③對稱軸在區間右邊．
（2）函式在區間上的單調性．要注意係數的符號對拋物線開口的影響．
6．二次函式的區間根的分布情況一般需從三方面考慮：①判別式；②區間端點的函式值的符號；③對稱軸與區間的相對位置．
三、典型例題選講
題型1：考查一元二次函式的性質
例1 函式是單調函式的充要條件是（ ）
a． b． c． d．
解：∵函式的對稱軸為，
∴函式）是單調函式，．故選a．
歸納小結：二次函式的單調區間是和，結合開口方向就可得出所需的條件，從而求出的範圍．
例2 已知二次函式的對稱軸為，截軸上的弦長為，且過點，求函式的解析．
解：∵二次函式的對稱軸為，可設所求函式為，∵截軸上的弦長為，
∴過點和，又過點，∴，解之得，
∴．歸納小結：求二次函式的解析式一般採用待定係數法，但要注意根據已知條件選擇恰當的解析式形式：一般式、零點式和頂點式，正確的選擇會使解題過程得到簡化．
題型2：簡單不等式的求解問題
例3 求下列不等式的解集．
（1）；（2）
解法一：因為．所以，原不等式的解集是．
解法二：整理，得．
因為無實數解，所以不等式的解集是．從而，原不等式的解集是．
歸納小結：解一元二次不等式要抓住「三個二次」的關係，按照解一元二次不等式的步驟求解，必要時要畫出二次函式的圖象進行觀察．
例4 不等式的解集為，求與的值．
解法一：設的兩根為、，由韋達定理得：
由題意得∴，，此時滿足，．
解法二：構造解集為的一元二次不等式：
，即，此不等式與原不等式應為同解不等式，故，．
歸納小結：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，，的兩根為，．在解題時要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的關係．
題型3：含參不等式的求解問題
例5 解關於的不等式．
證：分以下情況討論
(1)當時，原不等式變為：，∴，即不等式的解集為
(2)當時，原不等式變為： ① ①當時，①式變為，∴不等式的解為或．即不等式的解集為；②當時，①式變為．②，∵，
∴當時，，此時②的解為．即不等式的解集為；當時，，此時②的解為．
當時，，即不等式的解集為．
歸納小結：解本題要注意分類討論思想的運用，關鍵是要找到分類的標準，就本題來說有**分類：
分類應做到使所給引數的集合的並集為全集，交集為空集，要做到不重不漏．另外，解本題還要注意在討論時，解一元二次不等式應首選做到將二次項係數變為正數再求解．
題型4：一元二次不等式的應用
例6 （1）已知函式，則不等式的解集是（ ）
ab．cd．
解：依題意得
所以，選c．
（2）若函式f(x) =的定義域為r，則a的取值範圍為_______．
解：函式的定義域為r，對一切都有恆成立，即恆成立，
成立，即，，故選a．
歸納小結：解一元二次不等式往往與分段函式、指數函式和對數函式結合進行綜合考查，
一般是借助於函式的性質和圖象進行轉化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相應一元二次函式的性質，體現「三個二次」之間的緊密聯絡，這也是一元二次不等式的重要考點之一．
例7 已知函式的最大值為，求的值．
解：令，，∴，對稱軸為，當，即時，，得或（捨去）．當，即時，函式在上單調遞增，由，得；當，即時，函式在上單調遞減，由，得（捨去）．
綜上可得，的值為或．
歸納小結：令，問題就轉化為二次函式的區間最值問題，再由對稱軸與區間的三種位置關係的討論就可求得的值．此題中要注意的條件．
例8 設不等式的解集為，如果，求實數的取值範圍？
解：有兩種情況：其一是=，此時＜0；其二是m≠，此時=0或＞0，分三種情況計算a的取值範圍．設，有==，當＜0時，－1＜＜2，=；當=0時，=－1或2；當=－1時=；當=2時，=
當＞0時，a＜－1或a＞2．設方程的兩根，，且＜，那麼m=［，］，m1≤x1＜x2≤4，即解得2＜＜，∴m［1，4］時，的取值範圍是(－1，)．
一元二次不等式解法應試能力測試
1．不等式的解集是( )
a． b． c． d．
2．設集合m＝，，則有m∩n＝( )
a． b． c． d．
3．對於任意實數x，不等式恆成立，則實數a的取值範圍是( )
a．－1≤a≤0 b．－1≤a<0 c．－14．不等式的解集為( )
a． b． c． d．
5．已知，，則a∩b的非空真子集個數為( )
a．2 b．3 c．7 d．8
6．已知，，且a∪b＝r，a∩b＝
6．a 提示：因b＝，由已知得a＝∴－1，4是的兩根，∴p＝－3，q＝－4．
7．c 8．a，提示：因的解為，只有a＝0且b≤0時，ax
二、1．x<－5或x>5 提示：原不等式化為，∴|x|>5
2．，b＝，∵，∴a>2
高一數學不等式知識點
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必修5 不等式複習彙總
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