第四講三角恒等變形
一、三角恒等變形知識點總結
1．兩角和與差的三角函式；；
。2．二倍角公式；；
。3．三角函式式的化簡
常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：
①能求出值的應求出值；②使三角函式種數盡量少；③使項數盡量少；④盡量使分母不含三角函式；⑤盡量使被開方數不含三角函式。
（1）降冪公式
；；。（2）輔助角公式，。
4．三角函式的求值型別有三類
（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關係，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函式值問題；
（2）給值求值：給出某些角的三角函式式的值，求另外一些角的三角函式值，解題的關鍵在於「變角」，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的範圍的討論；
（3）給值求角：實質上轉化為「給值求值」問題，由所得的所求角的函式值結合所求角的範圍及函式的單調性求得角。
5．三角等式的證明
（1）三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特徵，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化「異」為「同」；
（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發現已知條件和待證等式間的關係，採用代入法、消參法或分析法進行證明。
二、典例解析
【題型1】兩角和與差的三角函式
【例1】已知，求cos。
分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。
解：由已知sin+sin=1cos+cos=0…………②，
①2＋②2得 2+2cos；
∴ cos。
①2－②2得 cos2+cos2+2cos（）=－1，
即2cos（）〔〕=－1。
∴。點評：此題是給出單角的三角函式方程，求復角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數有四個，顯然前景並不樂觀，其錯誤的原因在於沒有注意到所求式與已知式的關係本題關鍵在於化和為積促轉化，「整體對應」巧應用。
【例2】已知
求。解法一：由韋達定理得tan，
所以tan
解法二：由韋達定理得tan，
所以tan ，
。點評：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法**於熟練地掌握知識的系統結構，從而尋找解答本題的知識「最近發展區」。
（2）運用兩角和與差角三角函式公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特徵，如角的關係，次數關係，三角函式名等抓住公式的結構特徵對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特徵，有利於在解題時觀察分析題設和結論等三角函式式中所具有的相似性的結構特徵，聯想到相應的公式，從而找到解題的切入點。（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如
【題型2】二倍角公式
【例3】化簡：
，解：因為，
又因，所以，原式=。
點評：（1）在二倍角公式中，兩個角的倍數關係，不僅限於2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數關係，同時還要注意三個角的內在聯絡的作用，是常用的三角變換。（2）化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。
（3）公式變形，。
【例4】若。
解：由，
點評：此題若將的左邊展開成再求的值，就很繁瑣，把，並注意角的變換2·運用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時，要善於發現所求的三角函式的角與已知條件的角的聯絡，一般方法是拼角與拆角，如，，
等。【題型3】輔助角公式
【例5】已知函式y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈r.
（1）當函式y取得最大值時，求自變數x的集合；
（2）該函式的圖象可由y＝sinx（x∈r）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到?
（1）解：y＝cos2x＋sinxcosx＋1
＝（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1
＝cos2x＋sin2x＋
＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋
＝sin（2x＋）＋
y取得最大值必須且只需2x＋＝＋2kπ，k∈z，即x＝＋kπ，k∈z。
所以當函式y取得最大值時，自變數x的集合為｛x|x＝＋kπ，k∈z｝。
（2）將函式y＝sinx依次進行如下變換：
①把函式y＝sinx的圖象向左平移，得到函式y＝sin（x＋）的圖象；
②把得到的圖象上各點橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變），得到函式
y＝sin（2x＋）的圖象；
③把得到的圖象上各點縱座標縮短到原來的倍（橫座標不變），得到函式
y＝sin（2x＋）的圖象；
④把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函式y＝sin（2x＋）＋的圖象；
綜上得到函式y＝cos2x＋sinxcosx＋1的圖象。
點評：引入輔助角，技巧性較強，但輔助角公式，，或在歷年高考中使用頻率是相當高的，應加以關注。
【題型4】三角函式式化簡
【例6】已知函式（的第四象限的角）且，求的值。
解：因為，且是第四象限的角, 所以
故【題型5】三角函式的值及週期
【例7】設函式(其中＞0,ar),且f(x)的圖象在y軸右側的第乙個高點的橫座標為。
（ⅰ）求ω的值；
（ⅱ）如果在區間上的最小值為，求a的值。
解：（i）
依題意得．
（ii）由（i）知，。
又當時，，故，從而在區間上的最小值為，故
【題型6】三角函式綜合問題
【例8】已知向量
（i）若求 （ii）求的最大值。
解：（1）；
當=1時有最大值,此時，最大值為。
二、基礎訓練
一、選擇題：
1已知,則
a． b． c． d．
2. 函式的最小正週期和振幅分別是
a．π,1 b．π,2 c．2π,1 d．2π,2
3．設sin，則
ab． cd．
4．在曲線與直線的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則的最小正週期為
abcd.
5abcd.
6. 已知， (0，π)，則
a. 1bcd.1
7. 函式的最小正週期為
abcd．
8. 已知若a=f（lg5），則
a.a+b=0b. a-b=0c. a+b=1d. a-b=1
二、填空題：
9. 已知則的值為
10. 已知 ，,則
11．函式的最大值為
12. 函式的最大值為
三、解答題：
13． 已知函式，，且
（1）求的值；
（2）設，，，求的值.
【答案】（1），解得。
（2），即，
，即。 因為，所以，，
所以。14 已知函式。
（1）求的定義域及最小正週期；
（2）求的單調遞減區間。
【答案】
。（1）原函式的定義域為，最小正週期為．
（2）原函式的單調遞增區間為，。
三角恒等變換
第3講三角函式的恒等變換 知識梳理 1兩角和與差的三角函式公式 2.二倍角公式 要點突破 問題1 如何由兩角和正弦 余弦 正切公式得到二倍角的正弦 余弦 正切公式？1 令，便可由兩角和的三角函式公式，得到對應的二倍角的三角函式公式，即 問題2 解決三角求值問題時，要注意什麼？2 要注意分析角的範圍，...
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解析由題意，得sin cos 3 所以cos 2 cos 2 2cos2 1 1 2cos2 答案 b 解析 s acsinb 2，1 c sin 45 2.c 4.b2 a2 c2 2accos b 1 32 2 1 4 cos 45 b2 25，b 5.答案 a 解析由sin acos a si...
三角恒等變換
兩角和與差的正余弦公式以及正切公式 二倍角公式 降冪公式 輔助角公式 註一 選擇題 1.的值等於 a bcd 2.在則這個三角形的形狀是 a.銳角三角形 b.鈍角三角形 c.直角三角形 d.等腰三角形 3.在三角形中，則的值為 24.函式的最小正週期為 abcd.3.已知，則等於 a.b.c.d.5...