第三章三角恒等變換
一、知識點總結
1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：
； ；； ；
（）；（）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
． 公升冪公式
降冪公式，． ．3、
後兩個不用判斷符號，更加好用）
4、合一變形把兩個三角函式的和或差化為「乙個三角函式，乙個角，一次方」的形式。，其中．
5．（1）積化和差公式
sin·cos= [sin(+)+sincos·sin= [sin(+)-sin(-)]
cos·cos= [cos(+)+cossin·sin= - [cos(+)-cos(-)]
（2）和差化積公式
sin+sinsin-sin=
cos+cos= cos-cos= -
tan+ cot= tan- cot= -2cot2
1+cos1-cos=
1±sin=()2
6。（1）公升冪公式
1+cos1-cos=
1±sin=()2 1=sin2+ cos2
sin=
（2）降冪公式
sin2cos2
sin2+ cos2=1sin·cos=
7、三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創設條件，靈活運用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能．常用的數學思想方法技巧如下：
（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表示式中往往出現較多的相異角，可根據角與角之間的和差，倍半，互補，互餘的關係，運用角的變換，溝通條件與結論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：
①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；
②；問③；④；
⑤；等等
（2）函式名稱變換：三角變形中，常常需要變函式名稱為同名函式。如在三角函式中正余弦是基礎，通常化切為弦，變異名為同名。
（3）常數代換：在三角函式運算，求值，證明中，有時需要將常數轉化為三角函式值，例如常數「1」的代換變形有：
（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數較高的三角函式式，一般採用降冪處理的方法。常用降冪公式有降冪並非絕對，有時需要公升冪，如對無理式常用公升冪化為有理式，常用公升冪公式有
（5）公式變形：三角公式是變換的依據，應熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應用。
如：；；
；；；；
其中 ；）
（6）三角函式式的化簡運算通常從：「角、名、形、冪」四方面入手；
基本規則是：見切化弦，異角化同角，復角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊值與特殊角的三角函式互化。
如推廣：
推廣：二、基礎訓練
1．下列各式中，值為的是 a、 b、 c、 d、 （答：c）；
2．已知，那麼的值為____（答：）；
3．的值是______（答：4）；
4．已知，求的值（用a表示）甲求得的結果是，乙求得的結果是，對甲、乙求得的結果的正確性你的判斷是______（答：甲、乙都對）
5．已知，，那麼的值是_____（答：）；
6．已知，且，，求的值（答：）
7．求值（答：1）；
8．已知，求的值（答：）
9．已知a、b為銳角，且滿足，則＝_____（答：）；
10．若，化簡為_____（答：）
11．函式的單調遞增區間為答：）
12．化簡：（答：）
13．若方程有實數解，則的取值範圍是答：[－2,2]）；
14．當函式取得最大值時，的值是______(答：)；
15．如果是奇函式，則= (答：－2)；
16．求值答：32)
17．若且，，求的值（答：）.
三、規範解題
1.. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．
解α∈() β∈(0,)
∴α－∈(0
∴sin(α－)＝ cos()＝－
∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]
＝－cos
2.．化簡sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.
解方法一 （復角→單角，從「角」入手）
原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)
=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)
=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-
=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-
=sin2+cos2-=1-=.
方法二 （從「名」入手，異名化同名）
原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2
=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2
=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2
=cos2-cos2·
=-cos2·
=-cos2=.
方法三 （從「冪」入手，利用降冪公式先降次）
原式=·+·-cos2·cos2
=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.
方法四 （從「形」入手，利用配方法，先對二次項配方）
原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2
=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2
=cos2(+)-·cos(2+2)
=cos2(+)- ·［2cos2(+)-1］=.
3．已知；
(1) 求的值； (2) 設，求sinα的值．
解：（1）∵
∴（2）
∴16sin22－4sinα－11＝0 解得
∵ 故
4．已知sin2 2α＋2α cosα－cos2α＝1，α(0，)，求sinα、tanα的值．
解：由已知得
sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0
即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0
cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0
∵α∈(0，) cosα≠0 sinα≠－1
∴2sinα＝1 sinα＝ ∴tanα＝
5.設向量，若，，求的值。
【解題思路】先進行向量計算,再找角的關係.
解析:【導引】三角與向量是近幾年高考的熱門題型,這類題往往是先進行向量運算,再進行三角變換
6.已知<<<,
(ⅰ)求的值.（ⅱ）求.
【解題思路】由同角關係求出再求；又結合角的範圍定角。
[解析]（ⅰ）由，得
∴，於是
（ⅱ）由，得
又∵，∴
由得：,所以
【導引】本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函式值的符號，已知三角函式值求角以及計算能力。
7.已知函式
（ⅰ）將函式化簡成（，，）的形式；
（ⅱ）求函式的值域.
本小題主要考查函式的定義域、值域和三角函式的性質等基本知識，考查三角恒等變換、代數式的化簡變形和運算能力.
解：（ⅰ）
＝（ⅱ）由得
在上為減函式，在上為增函式，
又（當），
即故g(x)的值域為
三角恒等變換知識點總結
第三章三角恒等變換 一 知識點總結 1 兩角和與差的正弦 余弦和正切公式 2 二倍角的正弦 余弦和正切公式 公升冪公式 降冪公式，3 後兩個不用判斷符號，更加好用 4 合一變形把兩個三角函式的和或差化為 乙個三角函式，乙個角，一次方 的形式。其中 5 1 積化和差公式 sin cos sin sin...
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