典例剖析
［例1］求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件
【解】由不等式組
作出可行區域，如圖7—26所示的陰影部分．
∵目標函式為z=3x+5y,
∴作直線l:3x+5y=t(t∈r)．
當直線l在l0的右上方時，l上的點(x,y)滿足3x+5y＞0，即t＞0，而且，直線l向右平移時，t隨之增大，在可行域內以經過點a()的直線l1所對應的t最大．
類似地，在可行域內，以經過b(－2,－1)的直線l2所對應的t最小．
∴．【點評】正確地作出不等式組表示的平面區域(可行域)，再由線性目標函式作出一組平行線考查最值，是解線性規劃問題的基本步驟．
［例2］某紡紗廠生產甲、乙兩種棉紗，已知生產甲種棉紗1噸需耗一級子棉2噸、二級子棉1噸;生產乙種棉紗需耗一級子棉1噸、二級子棉2噸，每1噸甲種棉紗的利潤是600元，每1噸乙種棉紗的利潤是900元，工廠在生產這兩種棉紗的計畫中要求消耗一級子棉不超過300噸、二級子棉不超過250噸．甲、乙兩種棉紗應各生產多少(精確到噸)，能使利潤總額最大?
【分析】將已知資料列成下表：
解：設生產甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤總額為z元，那麼
z=600x+900y.
作出以上不等式組所表示的平面區域(如圖7—27)，即可行域．
作直線l:600x+900y=0，即直線l:2x+3y=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經過可行域上的點m，且與原點距離最大，此時z=600x+900y取最大值．解方程組,得m的座標為x=,y=.
【答】應生產甲種棉紗噸，乙種棉紗噸，能使利潤總額達到最大．
【點評】解線性規劃應用問題的步驟是：①從實際問題中抽象出不等式列出不等式組及線性目標函式;②由不等式組作出可行域;③作出一組平行直線ax+by－ｚ=0考查最值．
［例3］要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成a、b、c三種規格，每根鋼管可同時截得三種規格的短鋼管的根數如下表所示：
今需a、b、c三種規格的鋼管各13、16、18根，問各截這兩種鋼管多少根可得所需三種規格鋼管，且使所用鋼管根數最少．
【解】設需截甲種鋼管x根，乙種鋼管y根，則
作出可行域(如圖7—28)：
目標函式為z=x+y,
作出一組平行直線x+y=t中(t為引數)經過可行域內的點且和原點距離最近的直線，此直線經過直線4x+y=18和直線x+3y=16的交點a()，直線方程為x+y=.由於和都不是整數，所以可行域內的點()不是最優解．
經過可行域內的整點且與原點距離最近的直線是x+y=8,經過的整點是b(4，4)，它是最優解．
【答】要截得所需三種規格的鋼管，且使所截兩種鋼管的根數最少，方法是截甲種鋼管、乙種鋼管各4根．
【點評】此例的解法是，先依條件列出不等式組，作出可行域，不考慮x、y為非負整數的條件，求出符合題中其他條件的最優解，然後看此最優解是否為非負整數解，若是非負整數解，則即為所求.若不是非負整數解，則應求出經過可行域內的非負整數解且與原點距離最遠(或最近)的點的直線，這個非負整數解就是最優解．
簡單的線性規劃典型例題
例1 畫出不等式組表示的平面區域 分析 採用 法 確定不等式組每一不等式所表示的平面區域，然後求其公共部分 解 把，代入中得 不等式表示直線下方的區域 包括邊界 即位於原點的一側，同理可畫出其他兩部分，不等式組所表示的區域如圖所示 說明 法 是判別二元一次不等式所表示的區域行之有效的一種方法 例2 ...
簡單的線性規劃
教學目標 1 使學生了解並會用二元一次不等式表示平面區域以及用二元一次不等式組表示平面區域 2 了解線性規化的意義以及線性約束條件 線性目標函式 線性規化問題 可行解 可行域以及最優解等基本概念 3 了解線性規化問題的 法，並能應用它解決一些簡單的實際問題 4 培養學生觀察 聯想以及作圖的能力，滲透...
簡單的線性規劃
3.3 簡單的線性規劃 導學案 姓名班級組別組名 學習目標 1 了解線性約束條件 線性目標函式 可行域 可行解 最優解的基本概念 2 理解明確線性規劃問題的解決方法 3 能用線性規劃的方法解決一些簡單的實際問題，並體會數學知識形成過程中所蘊涵的思想和方法。重點難點 重點 利用可行域求目標函式的最值問...