揚州市2010—2011學年度第二學期第三次調研測試試題高三數學
2011．05
全卷分兩部分：第一部分為所有考生必做部分（滿分160分，考試時間120分鐘），第二部分為選修物理考生的加試部分（滿分40分，考試時間30分鐘）．
注意事項：
1． 答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等資訊填寫在答卷規定的地方．
2．第一部分試題答案均寫在答題卷相應位置，答在其它地方無效．
3．選修物理的考生在第一部分考試結束後，將答卷交回，再參加加試部分的考試．
第一部分
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）
1． 已知集合，則 ▲ ．
2． 已知，那麼複數 ▲ .
3． 已知，則 ▲ ．
4． 已知等比數列中，各項都是正數，且成等差數列，則等於
▲ ．
5． 「直線：與直線：平行」的充要條件是
▲ ．
6． 從這五個數中任取兩個數，這兩個數的和是奇數的概率為 ▲ ．
7． 已知點是雙曲線上的點，該點關於實軸的對稱點為，則=
▲ ．
8． 不等式的解集是 ▲ ．
9． 用半徑為cm，面積為cm2的扇形鐵皮製作乙個無蓋的圓錐形容器（銜接部分忽略不計）， 則該容器盛滿水時的體積是 ▲ ．
10． 若函式在（0，1）內有極小值，則實數b的取值範圍是
▲ ．
11． 函式，在區間上單調遞增，則實數的取值範圍為 ▲ ．
12． 直線與曲線有3個公共點時，實數的取值範圍是
▲ ．
13． 已知實數，直線與拋物線和圓從左到右的交點依次為則的值為 ▲ ．
14． 設函式的定義域為d，如果存在正實數，使對任意，都有，且恆成立，則稱函式為d上的「型增函式」．已知是定義在r上的奇函式，且當時，，若為r上的「型增函式」，則實數的取值範圍是 ▲ ．
二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15． （本小題14分）
已知，，且//．設函式．
（1）求函式的解析式．
（2）若在銳角中，，邊，求周長的最大值．
16． （本小題14分）
在正三稜柱中，點是的中點，．
（1）求證：∥平面；
（2）試在稜上找一點，使．
17．（本小題15分）
某銷售商銷售某品牌手機，該品牌手機進價為每部1580元，零售價為每部1880元．為促進銷售，擬採用買一部手機贈送一定數量禮物的方法，且贈送禮物的價值不超過180元．統計表明：在**期間，禮物價值每增加15元（禮物的價值都是15元的整數倍，如禮物價值為30元，可視為兩次增加15元，其餘類推），銷售量都增加11%．
（1）當贈送禮物的價值為30元時，銷售的總利潤變為原來不贈送禮物時的多少倍？
（2）試問贈送禮物的價值為多少元時，商家可獲得最大利潤？
18． （本小題15分）
已知橢圓c：，點a、b分別是橢圓c的左頂點和上頂點，直線ab與圓g：（是橢圓的焦半距）相離，p是直線ab上一動點，過點p作圓g的兩切線，切點分別為m、n．
（1）若橢圓c經過兩點、，求橢圓c的方程；
（2）當為定值時，求證：直線mn經過一定點e，並求的值（o是座標原點）；
（3）若存在點p使得△pmn為正三角形，試求橢圓離心率的取值範圍．
19．（本小題16分）
已知定義在上的函式和數列滿足下列條件：，，當時，，且存在非零常數使恆成立．
（1）若數列是等差數列，求的值；
（2）求證：數列為等比數列的充要條件是．
（3）已知，，且（），數列的前項是，對於給定常數，若的值是乙個與無關的量，求的值．
20．（本小題滿分16分）
已知定義在實數集上的函式，其導函式記為，且滿足，為常數，．
（1）試求的值；
（2）記函式，，若的最小值為6，求實數的值；
（3）對於（2）中的，設函式，（）是函式圖象上兩點，若，試判斷的大小，並加以證明．
揚州市2010—2011學年度第二學期第三次調研測試試題
高三數學
第二部分（加試部分）
（總分40分，加試時間30分鐘）
注意事項：
答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等資訊填寫在答卷密封線內．解答過程應寫在答題卷的相應位置上，在其它地方答題無效．
21．b（4-2矩陣與變換，本題滿分10分）
已知矩陣將點變換為，且屬於特徵值的乙個特徵向量是，求矩陣．
21．c （4-2極座標與引數方程，本題滿分10分）
橢圓中心在原點，離心率為，點是橢圓上的點，若的最大值為，求橢圓的標準方程．
22．（本題滿分10分）
某次考試共有8道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有乙個是正確的；評分標準為：「每題只有乙個選項是正確的，選對得5分，不選或選錯得0分．」某考生每道題都給出乙個答案，已確定有5道題的答案是正確的，而其餘3道題中，有一道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷出乙個選項是錯誤的，還有一道題因不了解題意而亂猜，試求該考生：
（ⅰ）得40分的概率；
（ⅱ）所得分數的數學期望．
23．（本題滿分10分）
已知展開式的各項依次記為．
設．（ⅰ）若的係數依次成等差數列，求的值；
（ⅱ）求證：對任意，恒有.
揚州市2010—2011學年度第二學期第三次調研測試試題
高三數學參***
1234．
567．28．
9． 1011． 12．（0，1）
1314．
注：第13題過程
設，，則，（），則，
由得，得，，
．15．解：(1) 因為//，所以3分
所以6分
(2) ∵，
8分又，
解法一：由正弦定理知，得，
∴，，∴的周長為 ………10分
12分∵，∴，則，
所以，∴周長的最大值為14分
解法二：由餘弦定理知10分
13分∴，，
∴周長的最大值為14分
16．（1）證明：連線，交於點, 連線.
∵、分別是、的中點，
3分∵平面，平面，
∴∥平面6分
（2）為的中點7分
證明如下：
∵在正三稜柱中，，∴四邊形是正方形．
∵為的中點，是的中點9分
∴，．又∵，
11分∵是正三角形，是的中點，
∴．∵平面平面, 平面平面，平面，
∴平面．
∵平面，
13分∵，
∴平面．
∵平面，
14分17．解：設該品牌手機在不贈送禮物的條件下銷售量為m部，
（1）原來利潤為元1分
當贈送禮物的價值為30元時，銷售的總利潤為
3分，即當贈送禮物的價值為30元時，銷售的總利潤變為原來不贈送禮物時的倍4分
（2）當贈送禮物的價值為15x元時，銷售的總利潤為元，則
=，（且），
………8分
11分令，得13分
∵且，∴當時，；當時，，
故當贈送禮物的價值為150元時，可以獲得最大利潤15分
18．解：（1）令橢圓，其中，
得，所以，即橢圓為3分
（2）直線，
設點，則中點為，
所以點所在的圓的方程為，
化簡為5分
與圓作差，即有直線，
因為點在直線上，所以，
所以，所以，
得，故定點， …8分
9分（3）由直線ab與圓g：（是橢圓的焦半距）相離，
則，即，，
得因為， 所以11分
連線若存在點使為正三角形，則在中，，
所以，，
，得因為，所以14分
由①②，，
所以15分
19．解:（1）由已知，，得
由數列是等差數列，得
所以，，，得4分
（2）充分性證明：若，則由已知，
得，所以，是等比數列6分
必要性證明：若是等比數列，設公比為，則有，
由及得又，
所以數列是以為首項，公比為的等比數列，
所以，當時， ………8分
①若，，（）
對也成立．
數列是公差為的等差數列，不可能是等比數列，所以，
②，，（）
對也成立．
所以，由數列是等比數列知，，即，
即對任意非零實數都成立．
綜上可得：數列為等比數列的充要條件是．………10分
（3）由（ⅱ）知，數列是首項為，公比為的等比數列，即，
是乙個常數，
故數列是等差數列，設公差為，
依題意，
，當且僅當或時，是乙個與無關的常數，
不成立，
所以，即，
16分20．解：（11分
依題意，，得4分
（25分
①若，，在上單調遞減，
的最小值是，由得，（捨去7分
②若，，令得，
當時, ,在上單調遞減;
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