例1：盒子裡放了乙隻球，一位魔術師第一次從盒子裡將這只球取出，變成4只球後放回盒子裡；第二次從盒子裡取出2只球，將每只球各變成4只球後，放進盒子裡；……；第十次從盒子裡取出10只球，將每只球各變成4只球的放回盒子裡。問：
這時盒子裡共有多少只球？
分析：在此題中，變化的量有以下幾個：①操作的次數，即取球的次數；②取出的球數；③每次取出球以後，盒中剩餘的球數；④每次放回的球數⑤盒中每次增加的球數；⑥每次操作結束後盒子中的球數。
這每乙個量都隨著操作次數的變化而變化，正因如此，把每次操作的情況列成**，在**中的資料上尋找出資料的規律：
操作次數 1 2 3 … 10
取出球數 1 2 3 … 10
盒中剩球數 0 2 7 … a
放回的球數 4 8 12 … b
盒中增加球數 3 6 9 … c
總球數 4 10 19 … d
在上表中，若能把a、b、c、d這四處的資料找到，那麼此題也就完成了解題。從表中容易得到結果的是b為4n、c為3n。因此對所要求的d的結果就顯而易見了：
每次變化後的球的數目分別為：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31……1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即d為166。
說明：解決此類問題時，應將每一過程產生的結果用**把資料一一列出，再觀察資料的變化，從變化的資料中尋找規律，從而得出結論。
例2：有10個朋友聚會，見面時如果每人和其餘的每個人只握一次手，那麼10個人共握手多少次？若n個朋友呢？
分析：學生必須明白：1）每兩個人握一次手；2）甲和乙握手的結果與乙和甲握手的結果只能看成是一種結果。
3）若設這10個人為a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8、a9、a10。則a1與其它9個人握9次手；a2則與剩下的8個人握8次手；a3則與剩下的7個人握7次手；……a9與a10握1次手。因此，所有握手的次數就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。
說明：解決此類問題時，應將出現的各種結果按一定規律一一給出，從而整理出所有結果來。
第二類：數字型題
例3：觀察下面依次排列的一列數，它的排列規律是什麼？請接著寫出後面的3個數。你能說出第100個數、第2004個數、第10000個數嗎？
① 2，-2，2，-2，2，-2，……
② -1，3，-5，7，-9，11，……
分析：①容易發現這一竄數字是正負相間、絕對值都等於2的數構成的，即第奇數個數字是2，第偶數個數是-2。因此接下來的三個數就是2，-2，2。
第100個數是-2，第2004個數是-2，第10000個數是-2。
②容易發現這一竄數字除了符號有變化外，數字都是奇數；符號是一負一正相間；（第奇數個數是負的，第偶數個數是正的。因此，符號的確定可以用（-1）n來作為每乙個數的係數。而奇數常常用（2n-1）來表示，固此數列的第n個數可以用（-1）n（2n-1）來表示，原數列中的接下來的三個數為：
-13，15，-17。第100個數為199，第2004個數為4007，第10000個數為19999。
③容易發現此數列的符號特徵與第2小題的符號特徵一樣，可以用（-1）n來表示。而每乙個分數可以看成是偶數的倒數，即，因此，此數列中的第n個數可表示為（-1）n ，故，接下來的三個數為，- ，。第100個數為，第2004個數為，第10000個數為。
說明：此例中的數字規律學生尋找起來不是很困難的，只須了解一系特殊數列的表示方法就可以了，如奇數數列、偶數數列的表示方法；當然，符號的表示也是要求掌握的。
例4：研究下列算式，你會發現什麼規律？
1×3+1=4=22
2×4+1=9=32
3×5+1=16=42
4×6+1=25=52
請你將找出的規律用公式表示出來：▁▁▁▁▁
這個公式是否對全體整數適用？
分析：在第乙個式子中去尋找「1」；在第二個式子中去尋找「2」； ……；在第n個式子中去尋找「n」。同時，在相應的式子中尋找與「1」、「2」、 ……、「n」有關的數字。
若發現式子中的「1」、「2」、 ……、「n」的位置是個固定的位置，則第n個式子中的「n」就在「1」、「2」、 ……、的位置上，相應的「n+1」、「n-1」等其它的與n有關的數字就因規律式子中的具體情況而定了。此題中各式的第乙個資料即可看出是n的位置，第二個資料比第乙個資料大2，則第二個資料可認為是n+2，第三個資料為常量1，第四個資料即為（n+1）2的結果，而最後的結論則是明確了（n+1）2。因此，找出的規律用公式表達為：
n（n+2）+1=n2+2n+1=（n+1）2。
例5：觀察下列各式：
13+23=9=（1+2）2
13+23+33=36=（1+2+3）2
13+23+33+43=（1+2+3+4）2
……13+23+33+43+……+993+1003=？
分析：從給出的三個條件式子中不難發現各式的特點：從1開始的幾個連續自然數的立方和，等於這幾個數的和的平方。學生不難找到第n個式子為：
13+23+33+……+n3=（1+2+3+……+n）2。
因此，13+23+33+43+……+993+1003=（1+2+3+4+……+99+100）2=50502。
（用不完全歸納法來證明第n式的結論並不困難，限於篇幅，這裡不給予證明了。）
第三類：幾何圖形型
例6：用火柴棒按圖中的方式搭圖：
(1) 填寫下表：
圖形編號
火柴棒根數
(2) 第n個圖形需要多少根火柴？
分析：在解此類問題時，方法很明確；就是把圖形型問題轉化為數字型問題，再從數字的特點來尋找出規律來解答。
顯然，第乙個圖形中有3根火柴棒；第二個圖形中有9根火柴棒；第三個圖形中有18根火柴棒；第四個圖形中有30根火柴棒；……
而3=1×3；9=3×3=（1+2）×3；18=6×3=（1+2+3）×3；30=10×3=（1+2+3+4）×3……
因此，第n個圖形中的火柴棒的根數為：（1+2+3+……+n）×3根。從而表中的每乙個資料就不難填寫出來了。
類似此題的題目有下面一些題，供大家參考：
1、當一條線段上標上乙個點時，此時圖中共有3條線段，若再標上乙個點時，此時圖中共有6條線段，……依次類推，則第n個圖中共有多少條線段？
2、從乙個三角形的乙個頂點向它的對邊引一條線段，此時圖中共有3個三角形（如圖2）；若再向它的對邊引一條線段，此時圖中共有6個三角形（如圖3）；……依次類推，則第n個圖中共有多少個三角形？
說明：（1）在數圖形的數量時，如能掌握：先單
一、後2個復合、再3個復合……依次類推數出相應所有的結論，這樣做不易重複和遺漏。
（2道一些特殊數列的規律和一般表示式，才能較為輕鬆地完成此類問題的解答。如下表：
自然數列 1 2 3 …… n
偶數數列 2 4 6 …… 2n
奇數數列 1 3 5 …… 2n-1
自然數的平方 1 4 9 …… n2
前n個自然數的和 1
（1） 1+2
（3） 1+2+3
（6） …… 1+2+3+……+n
（）前n個奇數的和 1
（1） 1+3
（4） 1+3+5
（9） …… 1+3+5+……+（2n-1）
（n2）
前n個偶數的和 2
（2） 2+4
（6） 2+4+6
（12） …… 2+4+6+……+2n
n（n+1）
為了大家進一步鞏固這方面的知識點，以下練習題，供大家參考：
1） 觀察下列各式，你會發現什麼規律？
3×5=15=42-1
5×7=35=62-1
……11×13=143=122-1
將你猜想到的規律用只含乙個字母的式子表示出來。
2） 觀察下列各式：
a1=5×1-3=2
a2=5×2-3=7
a3=5×3-3=12
a4=5×4-3=17
……（1） 根據以上規律，猜測計算an=
（2） 當n=100時，a100=
你喜歡吃拉麵嗎？拉麵館的師傅，用一根很粗的麵條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反覆幾次，就把這根很粗的麵條拉成了許多細的麵條，如圖所示，這樣捏合拉伸到多少次，就可拉出128根細麵條？
4）如圖，正方形的稜長都是1，按圖中規律堆放，若依次由上向下稱之為第一層、第二層、第三層、……、第n層，請填表：
小正方體排列層數n 1 2 3 4 5 … n
最低層小正方體的個數 1 3 6 …
數學題，可以分為兩大類，一類是應用數學規律題，一類是發現數學規律題。應用數學規律題，指的是需要學生應用以前學習過的數學規律解答的題目。發現數學規律題，指的是與學生以前學習的數學規律沒有什麼關係，需要學生先從已知的事物中找出規律，才能夠解答的題目。
學生所做數學題，絕大多數屬於第一類。
由於發現數學規律題，能夠增強學生的創造意識，提高學生的創新能力。因此，近幾年來，人們開始逐漸重視這一類數學題。尤其是最近兩年，全國多數地市的中招考試，都有這類題目。
研究發現數學規律題的解題思想，不但能夠提高學生的考試成績，而且更有助於創新型人才的培養。
一、 要善於抓主要矛盾
有些題目看上去很大、很複雜，實際上，關鍵性的內容並不多。對題目做一番認真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關鍵的內容抽出來，題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了。
還有，邵陽市2023年初中畢業學業考試試題卷（課改區）的數學試題「圖中的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號依次為則第n個等腰直角三角形的斜邊長為也可以按照這個思想求解。
二、 要抓題目裡的變數
找數學規律的題目，都會涉及到乙個或者幾個變化的量。所謂找規律，多數情況下，是指變數的變化規律。所以，抓住了變數，就等於抓住了解決問題的關鍵。
例如，用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚塊，第個圖形中需要黑色瓷磚塊（用含的代數式表示）.（海南省2023年初中畢業公升考試數學科試題（課改區））
這一題的關鍵是求第個圖形中需要幾塊黑色瓷磚？
在這三個圖形中，前邊4塊黑瓷磚不變，變化的是後面的黑瓷磚。它們的數量分別是，第乙個圖形中多出0×3塊黑瓷磚，第二個圖形中多出1×3塊黑瓷磚，第三個圖形中多出2×3塊黑瓷磚，依次類推，第n個圖形中多出（n-1）×3塊黑瓷磚。所以，第n個圖形中一共有4+（n-1）×3塊黑瓷磚。
雲南省2023年課改實驗區高中（中專）招生統一考試也出有類似的題目：「觀察圖（l）至（4）中小圓圈的擺放規律，並按這樣的規律繼續擺放，記第n個圖中小圓圈的個數為m，則，m用含 n 的代數式表示）.」
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