廣東省珠海市2023年9月高三摸底考試數學試題（文）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填塗相應選項．
1．已知集合,則
abcd．
2．函式的定義域是
ab． c． d．
3．是奇函式，則①一定是偶函式；②一定是偶函式；③；④，其中錯誤的個數有
a．1個 b．2個 c．4個 d．0個
4．如圖，是乙個幾何體的正檢視（主檢視）、側檢視（左檢視）、俯
檢視，正檢視（主檢視）、側檢視（左檢視）都是矩形，則該幾何
體的體積是
a．24b．12
c．8d．4
5．命題「若乙個數是負數,則它的平方是正數」的否命題是 （ ）
a．「若乙個數是負數,則它的平方不是正數」
b．「若乙個數的平方是正數,則它是負數」
c．「若乙個數不是負數,則它的平方不是正數」
d．「若乙個數的平方不是正數,則它不是負數」
6．某種動物繁殖量（只）與時間（年）的關係為,設這種動物第2年有100只,到第8年它們發展到
a．200只 b．300只 c．400只 d．500只
7．對於平面、、和直線、、m、n,下列命題中真命題是
a．若,則
b．若,則
c．若,則
d．若則
8．已知直線與圓相切,且與直線平行,則直線的方程是
ab．或
cd．或
9．已知函式，若過點a（0,16）的直線方程為，與曲線相切，則實數的值是
abc．6d．9
10．對於任意兩個正整數,定義某種運算「※」如下:當都為正偶數或正奇數時,※=;當中乙個為正偶數,另乙個為正奇數時,※=．則在此定義下,集合※中的元素個數是
a．10個b．15個c．16個 d．18個
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．請將答案填在答題卡相應位置．
11．設數列的前項和，則的值為__ __．
12．已知雙曲線的中心在原點,離心率為,若它的一條準線與拋物線的準線重合,則該雙曲線的方程是
13．圖1是某學生的數學考試成績莖葉圖,第1次到14次的考試成績依次記為．
圖2是統計莖葉圖中成績在一定範圍內考試次數的乙個演算法流程圖．那麼演算法流程圖輸出的結果是 ．
14．（座標系與引數方程選做題）在極座標系中，點關於極點的對稱點的極座標是 ．
15．（幾何證明選講選做題）中，，，於，於，於，則
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）已知：，其中，，，．
（ⅰ）求的對稱軸和對稱中心；
（ⅱ）求的單調遞增區間．
17．（本小題滿分12分）一商場對每天進店人數和商品銷售件數進行了統計對比，得到如下**：
其中．（ⅰ）以每天進店人數為橫軸，每天商品銷售件數為縱軸，畫出散點圖．
（ⅱ）求回歸直線方程．（結果保留到小數點後兩位）
（參考資料：，，，，，
）（ⅲ）**進店人數為80人時，商品銷售的件數．（結果保留整數）
18．（本小題滿分14分）如圖，為等邊三角形，為矩形，平面平面，，分別為、、中點，．
（ⅰ）求證：
（ⅱ）求多面體的體積．
19．（本小題滿分14分）在平面直角座標系中,設點,直線:,點在直線上移動,是線段與軸的交點, ．
（i）求動點的軌跡的方程；
（ii）設圓過,且圓心在曲線上,是圓在軸上截得的弦,當運動時弦長是否為定值？請說明理由．
20．（本小題滿分14分）已知函式，在上最小值為，最大值為，求的值．
21．（本小題滿分14分）已知定義在上的奇函式滿足，且對任意有．
（ⅰ）判斷在上的奇偶性，並加以證明．
（ⅱ）令，，求數列的通項公式．
（ⅲ）設為的前項和，若對恆成立，求的最大值．
參***
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填塗相應選項．
1—5 dbbc 6—10 adddb
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．請將答案填在答題卡相應位置．
11．14 12． 13．10 14．（ 15．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．解：（ⅰ）．由題設知分
，則…………………３分
分分對稱軸是，
即對稱軸是分
對稱中心橫座標滿足，
即對稱中心是分
（ⅱ）．當時單增，……………１０分
即的單增區間是
……１２分
17．解：（ⅰ）散點圖如圖分分
分 回歸直線方程是分
（ⅲ）．進店人數80人時，商品銷售的件數件
分18．（文）（ⅰ）證明：連線、
是等邊三角形，為邊中點分
為矩形，，
平面平面， 平面分
，平面分
分別為、中點， ，，，四邊形是平行四邊形分
分（ⅱ）．
分19．解：（i）依題意知,直線的方程為：．……………2分
點是線段的中點,且⊥,∴是線段的垂直平分線．……………4分
∴是點到直線的距離．
∵點**段的垂直平分線,
∴．……………6分
故動點的軌跡是以為焦點,為準線的拋物線,
其方程為：．……………8分
（ii）,到軸的距離為,…………9分
圓的半徑,…………１0分
則,……………１2分
由（i）知,
所以,是定值．……………１４分
20．解：由題設知且分
時，；或時，；
和時，由題設知，，，…………３分
①時，時， ；時，，
在上單減，在和上單增分
為的極小值點，也是最小值點；
的最大值是分
解解得分
②時，時， ；時，，
在上單增，在和上單減分
為的極大值點，也是最大值點分
的最小值是分
解解得分
綜上，，或分
21．解：（ⅰ）．對任意有…………①
令得分令由①得，
用替換上式中的有分
在上為奇函式分
（ⅱ）．滿足，則必有
否則若則必有，依此類推必有，矛盾分，又
是為首項，為公比的等比數列分分分
故②③得分分
若對恆成立須，解得分
的最大值為分
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