江蘇王永建
數學教學中存在著許多既相互對立又互相制約的關係.處理好這些關係，對於順利地進行數學教學、提高教學質量，具有重要的意義。下面就當前實際教學中存在的幾個關係，談一點自己的看法.
1 數量與質量的關係
學習數學，總得做一些練習.練習，應該有一定的數量.沒有一定的數量，就難以保證有一定的質量.
對數學知識的加深，數學規律掌握的熟練，都需要通過練習.而人的創造性思維，也往往是在對知識深入理解和技能熟練的過程中產生的.
數學大師蘇步青當年為了報考國際知名的日本帝國大學，對解析幾何、微積分兩門課程做了近萬道題，結果考得雙百分.國際知名函式論專家、中國科學院院士楊樂教授從初二到高三，自己在課外做了一萬多道數學題，所以他的解題能力很強，被同學譽為「數學神童」.兩位數學家的經歷驗證了解數學題中數量與質量的辯證關係.
學數學要適當多練，但又不能負擔過重，這怎麼辦？首先，多練，應加強課堂練習，教師做到精講，留出時間讓學生練習；其次，應加強基本訓練，而不是一味地追求難題。長期以來，在高考指揮棒的影響下，人們熱衷於解難題，這不是方向.
基本訓練，題量雖多一點，但難度不大，負擔不會過重。當然，難一點的題目也應該適當做一點，但要因材施教，各盡其能.大家都向高難度攀，負擔自然就會過重.
再次，應該引導學生養成自練的習慣，老師統一布置的作業不宜過多，而學生自己應該像蘇步青、楊樂那樣，有空就多加訓練.被動地練，作為任務去完成，即使作業量並不很大，也會感到是負擔；反之，如果養成自練的習慣，把數學練習當作是一種興趣，甚至是一種享受，即使數量多一點，也不會感到是負擔.
2 「死」與「活」的關係
幾年前，有位領導說到他讀小學的孫子做一道數學題：「一位小朋友有4只蘋果，三個小朋友共有多少只蘋果？」當時教材要求寫成「」，不允許寫成「」.
這位領導批評教材編得太死，教學必須改革。從此，教材真的改變了，對此不再強調，「」可以，「」也行.
我檢視了老的人教版和江蘇版的教材，的確是這樣要求的.江蘇版的教材還特別把「」中的「4」用紅字印出，以示它的「主角」地位，我仔細琢磨了教材，感到編者這樣要求不無道理.小朋友在小學一年級學習了加法，遇到了若干個相同數連加的問題.
如果這些相同數的個數比較多，加起來就比較麻煩，因而就需要新的方法來加以解決，乘法就是為了適應這種需要而產生的.兩種教材都強調乘法就是「求幾個相同加數的和.」這裡，主角是「相同的加數」，作為被乘數；配角是「幾個」，作為乘數.
我看對於初學乘法的學生來講，如此強調，並且要求學生這樣理解與解題，有助於對乘法意義的理解，這是必要的.當然，乘法有交換律，與結果答數是一樣的，但這是後事，現在還不能放鬆要求.
「沒有規矩，何成方圓？」數學教師訓練學生的思維要注意靈活，但如果沒有一些必須具備的程式的「死」，就難以形成這種多向思維的「活」.小孩子開始練毛筆字，先要從描紅開始，然後臨貼，等到有了一定的基礎，就可以脫離字貼，發揮自己的創造性.
沒有描紅、臨貼的「死」，就不可能有以後瀟灑自如的「活」.一位藝術家在台上的表演已是爐火純青，但這種熟練高超的技藝，不正是從舉手、投足、吐字、發聲等等那些看來非常機械但都非常規範的動作鍛鍊起，經過多少年心血和汗水的澆灌，才逐步形成的麼？
3 速度與深度的關係
聽課中發現，學生課堂上答問的積極性和主動性，隨著年級的提高而降低.小學生在課堂上急於答問，有時老師問題還未講完，他就高高地舉起乙隻手，另乙隻手還指著自己的鼻子，屁股離開板凳，呈半站的姿勢，是在提示老師：「趕快喊我！
」到了中學，尤其是高中，課堂氣氛與小學不同，老師提問，學生舉手的聊聊無幾，但多數陷入了深思.急於答問，積極性固然很好，但問題還沒聽清楚就搶著回答，思維不免顯得淺薄.學生回答老師的問題，速度固然需要，但深度就顯得更為重要.
生活中，許多問題是需要深思熟慮的.傳說***主席當年思考是否要炮擊金門的問題時，乙個人在房子裡踱步沉思，滿地丟的都是菸蒂.那時美國第七艦隊在台灣海峽遊弋，炮擊金門會不會引起美國的干預？
面對這樣乙個戰略性的大問題，作為國家的領袖自然要權衡輕重、慎重考慮的.我們不可能想像，面對這樣乙個重大問題，領袖像小學生那樣，在幾秒鐘內就作出決策.
思維要有速度，更需要有深度.而且，隨著年級的提高，思維深度越來越顯得重要，這就要求我們當教師的精心設計問題，促使學生的思維向深度和廣度發展.
4 課內與課外的關係
人們常說：「課內打基礎，課外出人才.」這明確地揭示了課內與課外在培養人方面的辯證關係.
課內，要受到大綱（課程標準）和課本的限制，只能是學習一些基礎知識和基本技能，培養基本能力.課外，通過閱讀、講座、參觀訪問、調查研究等這樣一些生動活潑的活動，易於激發學生學習數學的興趣，培養鑽研精神。而由於課外可以不受大綱教材的限制，沒有考試公升學的壓力，學生學習具有主動性、自覺性，這不僅有助於促使學生在課內學習數學的興趣，甚至可以產生專業思想的萌芽，這從許多數學家成才的道路上能夠看出來.
華羅庚讀初一時，數學老師李月波並沒有發現他的數學才能，每次數學考試只給他六十幾分.後來，留法青年王維克來金壇初中執教，很欣賞華羅庚的數學才華，課外把自己的大學代數、解析幾何和微積分課本借給華羅庚看，引起華羅庚對數學的極大興趣，促使他開始了數學科研.2023年，華羅庚在《科學》雜誌14卷上發表了他的第一篇討論斯圖姆定理的文章.
2023年又接著在《科學》雜誌15卷2期上發表了他的《蘇家駒之代數的五次方程式解法不能成立理由》第二篇**.從此，華羅庚逐步走上了數學科研的道路.蘇步青經常告誡他的學生不要忽視語文的學習，這與他幼時刻苦自學語文是分不開的.
他幼時就熟讀《水滸》《聊齋》《左傳》等文學名著，為能看懂《東周列國志》，他步行數十里山路向人家借來字典.假日，他回家放牛，騎在牛背上背誦《唐詩三百首》.讀初二時，他的數學老師對他說：
「你的文學學得挺好，但我發現，你學數學更有發展前途.」在老師的指導下，蘇步青對數學產生了濃厚的興趣.一次，課內學習了「三角形三內角之和等於兩直角」這一定理，他在課外經過鑽研，找到了20種證法，寫成一篇文章，被送到浙江省乙個學生作業展覽會上展覽.
陳景潤讀初中時，一次在課外聽了數學沈元老師關於哥德**猜想的講座，沈老師說：「數學是科學的皇后，數論是皇后頭上戴的皇冠，哥德**猜想則是這頂皇冠上的一顆明珠.直到現在，這個猜想還未被人們解決，希望在座的同學今後能有人摘取這顆皇冠上的明珠.
」老師的一度話激發起少年陳景潤對哥德**問題極大的興趣，為他後來研究數論，把哥德**問題推向最後一步，奠定了思想基礎.
現在我們國家的中學數學教育進入乙個怪圈，一切為了應付高考、中考，課外作業漫無邊際，課外成為課內的延續，學生忙作業到深更半夜，節假日也不得休息，生動活潑的數學課外活動基本上已經消失，這實際上已堵塞了成才的道路。作為一名老園丁，我經常在默默地感慨並自問：數學教育的春天何時能來臨？
（柯正摘自《數學通報》2023年第4期）
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