輔助線的新增
【本講內容】通過「倍長中線」、「截長補短」、「圖形旋轉」等新增輔助線的方法，構造全等三角形，實現邊與角的轉化及轉移，最終得到證明結果。
【重點難點】新增合適的輔助線，解決證明問題
在證明幾何題目的過程中，常常需要通過全等三角形，研究兩條線段(角)的相等關係，或者轉移線段或角。而有些時候，這樣的全等三角形在問題中，並不是十分明顯。因此，我們需要通過新增輔助線，構造全等三角形，進而證明所需的結論
一、找全等三角形的方法：
（1）可以從結論出發，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；
（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；
（3）可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；
（4）若上述方法均不可行，可考慮新增輔助線，構造全等三角形。
二、三角形中常見輔助線的作法：
①延長中線構造全等三角形；
②利用翻摺，構造全等三角形；
③引平行線構造全等三角形；
④作連線構造等腰三角形。
精解名題
一、截長補短法
截長補短法，具體作法是在某條線段上擷取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合於證明線段的和、差、倍、分等類的題目。
1、如圖1，在△abc中，∠abc=60°，ad、ce分別平分∠bac、∠acb．求證：ac=ae+cd．
方法提煉：遇到求證一條線段等於另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：
截長：在長線段中擷取一段等於另兩條中的一條，然後證明剩下部分等於另一條；
補短：將一條**段延長，延長部分等於另一條**段，然後證明新線段等於長線段。
1）對於證明有關線段和差的不等式，通常會聯絡到三角形中兩線段之和大於第三邊、之差小於第三邊，故可想辦法將其放在乙個三角形中證明。
2）在利用三角形三邊關係證明線段不等關係時，如直接證明不出來，可連線兩點或延長某邊構成三角形，使結論**現的線段在乙個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關係證明。
二、中線倍長法
若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的「旋轉」。
2、已知三角形的兩邊長分別為7和5，那麼第三邊上中線長x的取值範圍是（ ）．
分析：要求第三邊上中線的取值範圍，只有將將中線與兩個已知邊轉移到同乙個三角形中，然後利用三角形的三邊關係才能進行分析和判斷．
3、如圖，已知δabc中，ad是∠bac的平分線，ad又是bc邊上的中線。求證：δabc是等腰三角形。
方法提煉：題目中如果出現了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點鏈結，便可得到全等三角形。
三、作平行線法
1）當三角形問題中有相等的角或等腰等條件時，可通過作平行線將相等的角轉換到某乙個三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件．
4、如圖3，在等腰△abc中，ab=ac，在ab上擷取bd，在ac延長線上擷取ce，且使ce=bd．連線de交bc於f．求證：df=ef．
2）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的「平移」或「翻轉摺疊」
5、△abc中，∠bac=60°，∠c=40°，ap平分∠bac交bc於p，bq平分∠abc交ac於q，求證：ab+bp=bq+aq。
方法提煉：
通過一題的多種輔助線新增方法，體會新增輔助線的目的在於構造全等三角形。而不同的新增方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移的，體會構造的全等三角形在轉移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了乙個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等三角形。
四、補全圖形法
在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構成乙個封閉的圖形，可找到更多的相等關係，有助於問題的解決．
1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用「三線合一」的性質解題，思維模式是全等變換中的「對折」。
6、如圖，δabc是等腰直角三角形，∠bac=90°，bd平分∠abc交ac於點d，ce垂直於bd，交bd的延長線於點e。求證：bd=2ce。
方法提煉：等腰三角形「三線合一」性質的逆命題在新增輔助線中的應用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯絡，為同學們開拓了乙個廣闊的探索空間；並且在新增輔助線的過程中也蘊含著化歸的數學思想，它是解決問題的關鍵。
7、如圖4，在△abc中，ac=bc，∠c=90°，bd為∠abc的平分線．若a點到直線bd的距離ad為a，求be的長．
五、利用角的平分線對稱構造全等
角的平分線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上擷取相等的線段，或向兩邊作垂線，對稱構造出全等三角形是常用的證明方法．該方法利用的思維模式是三角形全等變換中的「對折」，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。
8、如圖5，在四邊形abcd中，已知bd平分∠abc，∠a+∠c=180°．證明：ad=cd．
9、已知，如圖，ac平分∠bad，cd=cb，ab>ad。求證：∠b+∠adc=180°。
方法提煉：
①關於角平行線的問題，常用兩種輔助線；
②見中點即聯想到中位線。
方法指導三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以後關係現。
角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。
線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連線則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。
（答題時間：90分鐘）
1、已知，如圖1，在四邊形abcd中，bc＞ab，ad=dc，bd平分∠abc。
求證：∠bad+∠bcd=180°。
2、已知，如圖2，∠1=∠2，p為bn上一點，且pd⊥bc於點d，ab+bc=2bd。
求證：∠bap+∠bcp=180°。
3、已知，如圖3，在△abc中，∠c＝2∠b，∠1＝∠2。求證：ab=ac+cd。
4、已知，如圖4，d、e為△abc內兩點，求證：ab+ac>bd+de+ce
5、如圖5，ad為△abc的中線，求證：ab+ac>2ad
6、如圖6所示，ad是△abc的中線，be交ac於e，交ad於f，且ae=ef.
求證：ac=bf
中考專題 新增輔助線的方法
輔助線的新增 一 三角形中常見輔助線的新增 1.與角平分線有關的 可向兩邊作垂線。可作平行線，構造等腰三角形 在角的兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形 2.與線段長度相關的 截長 證明某兩條線段的和或差等於第三條線段時，經常在較長的線段上擷取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明餘下的等...
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