14. 已知，e是ab中點，af=bd，bd=5，ac=7，求dc
作ag∥bd交de延長線於g
age全等bde
ag=bd=5
agf∽cdf
af=ag=5
所以dc=cf=2
18．（5分）如圖，在△abc中，bd=dc，∠1=∠2，求證：ad⊥bc．
延長ad至h交bc於h;
bd=dc;
所以:∠dbc=∠角dcb;
∠1=∠2;
∠dbc+∠1=∠角dcb+∠2;
∠abc=∠acb;
所以:ab=ac;
三角形abd全等於三角形acd;
∠bad=∠cad;
ad是等腰三角形的頂角平分線
所以:ad垂直bc
20．（5分）如圖，已知ad∥bc，∠pab的平分線與∠cba的平分線相交於e，ce的連線交ap於d．求證：ad+bc=ab．
證明：做be的延長線，與ap相交於f點，
∵pa//bc
∴∠pab+∠cba=180°，
又∵，ae，be均為∠pab和∠cba的角平分線
∴∠eab+∠eba=90°∴∠aeb=90°，eab為直角三角形
在三角形abf中，ae⊥bf，且ae為∠fab的角平分線
∴三角形fab為等腰三角形，ab=af,be=ef
在三角形def與三角形bec中，
∠ebc=∠dfe,且be=ef，∠def=∠ceb，
∴三角形def與三角形bec為全等三角形，∴df=bc
∴ab=af=ad+df=ad+bc
22．（6分）如圖①，e、f分別為線段ac上的兩個動點，且de⊥ac於e，bf⊥ac於f，若ab=cd，af=ce，bd交ac於點m．
（1）求證：mb=md，me=mf
（2）當e、f兩點移動到如圖②的位置時，其餘條件不變，上述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．
分析：通過證明兩個直角三角形全等，即rt△dec≌rt△bfa以及垂線的性質得出四邊形bedf是平行四邊形．再根據平行四邊形的性質得出結論．
解答：解：（1）連線be，df．
∵de⊥ac於e，bf⊥ac於f，，
∴∠dec=∠bfa=90°，de∥bf，
在rt△dec和rt△bfa中，
∵af=ce，ab=cd，
∴rt△dec≌rt△bfa，
∴de=bf．
∴四邊形bedf是平行四邊形．
∴mb=md，me=mf；
（2）連線be，df．
∵de⊥ac於e，bf⊥ac於f，，
∴∠dec=∠bfa=90°，de∥bf，
在rt△dec和rt△bfa中，
∵af=ce，ab=cd，
∴rt△dec≌rt△bfa，
∴de=bf．
∴四邊形bedf是平行四邊形．
∴mb=md，me=mf．
23．（7分）已知：如圖，dc∥ab，且dc=ae，e為ab的中點，
（1）求證：△aed≌△ebc．
（2）**圖前，在不添輔助線的情況下，除△ebc外，請再寫出兩個與△aed的面積相等的三角形．（直接寫出結果，不要求證明）：
(1)dc∥ae，且dc=ae，所以四邊形aecd是平行四邊形。於是知ad=ec，且∠ead=∠bec。由ae=be，所以△aed≌△ebc。
（2）△aec、△acd、△ecd都面積相等。
24．（7分）如圖，△abc中，∠bac=90度，ab=ac，bd是∠abc的平分線，bd的延長線垂直於過c點的直線於e，直線ce交ba的延長線於f．
求證：bd=2ce．
證明：延長ba、ce，兩線相交於點f
∵be⊥ce
∴∠bef=∠bec=90°
在△bef和△bec中
∠fbe=∠cbe, be=be, ∠bef=∠bec
∴△bef≌△bec(asa)
∴ef=ec
∴cf=2ce
∵∠abd+∠adb=90°,∠acf+∠cde=90°
又∵∠adb=∠cde
∴∠abd=∠acf
在△abd和△acf中
∠abd=∠acf, ab=ac, ∠bad=∠caf=90°
∴△abd≌△acf(asa)
∴bd=cf
∴bd=2ce
40．在△abc中，，，直線經過點，且於，於.(1)當直線繞點旋轉到圖1的位置時，求證： ①≌；②；
(2)當直線繞點旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.
（1）證明：∵∠acb=90°，
∴∠acd+∠bce=90°，
而ad⊥mn於d，be⊥mn於e，
∴∠adc=∠ceb=90°，∠bce+∠cbe=90°，
∴∠acd=∠cbe．
在rt△adc和rt△ceb中，{∠adc=∠ceb∠acd=∠cbe ac=cb，
∴rt△adc≌rt△ceb（aas），
∴ad=ce，dc=be，
∴de=dc+ce=be+ad；
（2）不成立，證明：在△adc和△ceb中，{∠adc=∠ceb=90°∠acd=∠cbe ac=cb，
∴△adc≌△ceb（aas），
∴ad=ce，dc=be，
∴de=ce-cd=ad-be；
41．如圖所示，已知ae⊥ab，af⊥ac，ae=ab，af=ac。求證：（1）ec=bf；（2）ec⊥bf
（1）證明;因為ae垂直ab
所以角eab=角eac+角cab=90度
因為af垂直ac
所以角caf=角cab+角baf=90度
所以角eac=角baf
因為ae=ab af=ac
所以三角形eac和三角形fab全等
所以ec=bf
角eca=角f
（2）(2)延長fb與ec的延長線交於點g
因為角eca=角f(已證）
所以角g=角caf
因為角caf=90度
所以ec垂直bf
42．如圖：be⊥ac，cf⊥ab，bm=ac，cn=ab。求證：（1）am=an；（2）am⊥an。
證明：（1）
∵be⊥ac，cf⊥ab
∴∠abm+∠bac=90°，∠acn+∠bac=90°
∴∠abm=∠acn
∵bm=ac，cn=ab
∴△abm≌△nac
∴am=an
（2）∵△abm≌△nac
∴∠bam=∠n
∵∠n+∠ban=90°
∴∠bam+∠ban=90°
即∠man=90°
∴am⊥an
44．如圖,已知ac∥bd，ea、eb分別平分∠cab和∠dba，cd過點e，則ab與ac+bd相等嗎？請說明理由
在ab上取點n ,使得an=ac
∠cae=∠ean ,ae為公共邊,所以三角形cae全等三角形ean
所以∠ane=∠ace
又ac平行bd
所以∠ace+∠bde=180
而∠ane+∠enb=180
所以∠enb=∠bde
∠nbe=∠ebn
be為公共邊,
所以三角形ebn全等三角形ebd
所以bd=bn
所以ab=an+bn=ac+bd
48、 (10分)如圖，已知ac⊥ab，db⊥ab，ac＝be，ae＝bd，試猜想線段ce與de的大小與位置關係，並證明你的結論.
結論：ce>de。當∠aeb越小，則de越小。
證明：過d作ae平行線與ac交於f，連線fb
由已知條件知afde為平行四邊形，abec為矩形 ，且△dfb為等腰三角形。
rt△bae中，∠aeb為銳角，即∠aeb<90°
∵df//ae ∴∠fdb=∠aeb<90°
△dfb中 ∠dfb=∠dbf=(180°-∠fdb)/2>45°
rt△afb中，∠fba=90°-∠dbf <45°
∠afb=90°-∠fba>45°
∴ab>af
∵ab=ce af=de
∴ce>de
證全等。三角形bec與afc。
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