一． 入射與反射問題： （光線平面反射、撞球**）
題：實驗證明,平面鏡反射光線的規律是:射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等.
(1)如圖,一束光線m射到平面鏡a上,被a反射到平面鏡b上,又被b反射.若被b反射出的光線n與光線m平行,且∠1=50°,則∠23
(2)在(1)中,若∠1=55°,則∠3= °;若∠1=40°,則∠3= °.
(3)由(1)、(2),請你猜想:當兩平面鏡a、b的夾角∠3= °時,可以使任何射到平面鏡a上的光線m,經過平面鏡a、b的兩次反射後,入射光線m與反射光線n平行.你能說明理由嗎?
解: 由光線反射可得：∠1=∠4 ， ∠6=∠7
由圖形位置關係可得： ∠1+∠4+∠5=180°
6+∠7+∠2=180°
故由等式性質可得：∠1+∠4+∠5+∠6+∠7+∠2=360°
即：2∠4+2∠6+（∠5+∠2）=360°
由m∥n 可以得到：∠5+∠2=180°
2（∠4+∠6）+180°=360°
4+∠6=90°
3=90°
故：當兩平面鏡a、b的夾角∠3=90°時,可以使任何射到平面鏡a上的光線m,經過平面鏡a、b的兩次反射後,入射光線m與反射光線n平行.
二． 角平分線的有關規律探索：
題1： 在△abc中，cd平分∠acb，bd平分∠abc，下面的過程為探索∠bdc與∠a關係的過程：
說明以圖1作為參考，其他三個圖為不同的擺放，思路一樣。
( 1 ) 當∠abc=100°，∠acb=40°，求bdc的度數。
解：∵ bd平分∠abc， ∴∠1=∠abc =50°
cd平分∠acb， ∴∠2=∠acb =20°
∴ 在△bcd中，∠bdc=180°（∠1+∠2）=110°
思路：必須明確∠bdc只在三角形bcd中，
在乙個三角形中要去求乙個角的度數，可以選擇用180°減去另外兩個角的和。
（2） 請分析∠bdc與∠a的關係。
分析（1）的過程，剛才的思路我們可以發現：
在這個圖形中，只需要知道了（∠1+∠2）的度數，就可以求出答案，
而∠1是∠abc的一半，∠2是∠acb的一半，
於是它們的和就會是（∠abc+∠acb）的一半，
於是發現，只需要知道（∠abc+∠acb）的值，就可以知道（∠1+∠2）的度數
而在（2）中，由題目所給的∠a，可以得到（∠abc+∠acb）的值，
也就是說由∠a的度數，我們可以求出（∠1+∠2）的度數
解：∵ bd平分∠abc， ∴∠1=∠abc
cd平分∠acb， ∴∠2=∠acb
∴∠1+∠2 =∠abc∠abc
=（∠abc+∠acb）
=（180°∠a）
而在△bcd中，∠d=180°（∠1+∠2）
180°（180°∠a）
90°+∠a
故：兩個角的關係為∠p=90°+∠a
補充：如果把bc去掉，如右圖，圖形中的四個角的關係為
∠bdc=∠a+∠b+∠c
此性質在填空選擇中，可直接運用。
題2：分別將△abc的兩條邊ab，ac延長，並且bp平分∠dbc，cp平分∠ecb，兩條角平分線交與p點，
請你探索∠p與∠a的關係。（下面的解答過程以第2個圖作為參考）
思路：∵∠p是在△bcp中， ∴∠p=180°（∠1+∠2）
接下來，想辦法根據題目條件把∠1、∠2與∠a扯上關係，思路跟上一條類似。
解：∵在三角形bcp中，∠p=180°（∠1+∠2）
而 cp平分∠ecb， ∴∠1=∠ecb ；
bp平分∠dbc， ∴∠2=∠dbc
∴ ∠1+∠2=∠ecb+∠dbc
ecb+∠dbc）
180°∠acb + 180°∠abc）
180°∠acb∠abc + 180°）
a + 180°）
p=180°（∠1+∠2）
180°（∠a + 180°）
90°∠a
故：兩個角的關係為∠p=90°∠a
方法二：預備知識：外角
我們把三角形某乙個內角的一邊的延長線與這個角的另一邊組成的角叫三角形的外角
如右圖：∠acd是△abc的乙個外角
性質：三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角之和。
在三角形裡面：∠a+∠b+∠acb=180°，
由鄰補角關係可得：∠acd+∠acb=180°
∴ ∠acd=∠a+∠b
∴觀察右圖可得：
∠dbc是三角形abc的乙個外角
∴∠dbc=∠a+∠acb
∠ecb是三角形abc的乙個外角
∴∠ecb=∠a+∠abc
∴∠1+∠2=∠ecb+∠dbc
=（∠ecb+∠dbc）
=（∠a+∠acb+∠a+∠abc）
=（∠a+180°）
∴ ∠p=180°（∠1+∠2）
=180°（∠a + 180°）
=90°∠a
故：兩個角的關係為∠p=90°∠a
三． 角平分線與高線：
已知：△abc中，ad⊥bc，ae平分∠bac，請根據題中所給的條件，解答下列問題：
（1）如圖1，若∠bad=60°，∠ead=15°，則∠c= 度，
（2）如圖2，若∠bad=62°，∠ead=22°，則∠c= 度，
（3）通過以上的計算你發現∠ead和∠c—∠b之間的關係應為：∠c—∠bead；
（4）在△abc中，∠c >∠b，那麼（3）中的結論仍然成立嗎？為什麼？
解：（1）在rt△abd中，∵∠bad=60°，∴∠b=30°
而∠ead=15°，∴∠eab=60°15°=45°
又∵ae平分∠bac，∴∠bac=2∠eab=90°
∴在△abc中，
∠c=180°∠b∠bac=180°90°30°=60°
（2）在rt△abd中，∵∠bad=62°，∴∠b=28°
而∠ead=22°，∴∠eab=62°22°=40°
又∵ae平分∠bac，∴∠bac=2∠eab=80°
∴在△abc中，
∠c=180°∠b∠bac=180°28°80°=72°
（3）（4）
總結發現，在此圖中：∠ead = ∠bad∠eab
= (90°∠b) ∠bac
= (90°∠b) （180°∠b∠c）
= 90°∠b90° +∠b +∠c
=∠c∠b
故：∠ead =（∠c∠b）
即：∠c∠b = 2∠ead
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