集合是高中數學的基本知識，為歷年必考內容之一，主要考查對集合基本概念的認識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用.本節主要是幫**生運用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應用.
●難點磁場
(★★★★★)已知集合a=,b=,如果a∩b≠,求實數m的取值範圍.
●案例**
［例1］設a=,b=,c=,是否存在k、b∈n,使得(a∪b)∩c=，證明此結論.
命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點，進而解決問題.屬★★★★★級題目.
知識依託：解決此題的閃光點是將條件(a∪b)∩c=轉化為a∩c=且b∩c=，這樣難度就降低了.
錯解分析：此題難點在於考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認清其實質內涵，因而可能感覺無從下手.
技巧與方法：由集合a與集合b中的方程聯立構成方程組，用判別式對根的情況進行限制，可得到b、k的範圍，又因b、k∈n,進而可得值.
解：∵(a∪b)∩c=，∴a∩c=且b∩c=
∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∵a∩c=
∴δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b2－16>0,即b2>1
∵∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵b∩c=,∴δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<0,從而8b<20,即b<2.5
由①②及b∈n,得b=2代入由δ1<0和δ2<0組成的不等式組，得
∴k=1,故存在自然數k=1,b=2,使得(a∪b)∩c=.
［例2］向50名學生調查對a、b兩事件的態度，有如下結果：贊成a的人數是全體的五分之三，其餘的不贊成，贊成b的比贊成a的多3人，其餘的不贊成；另外，對a、b都不贊成的學生數比對a、b都贊成的學生數的三分之一多1人.問對a、b都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？
命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數軸法取交並集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握.本題主要強化學生的這種能力.屬★★★★級題目.
知識依託：解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來.
錯解分析：本題難點在於所給的數量關係比較錯綜複雜，一時理不清頭緒，不好找線索.
技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數量關係間的聯絡.
解：贊成a的人數為50×=30，贊成b的人數為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為u，贊成事件a的學生全體為集合a；贊成事件b的學生全體為集合b.
設對事件a、b都贊成的學生人數為x,則對a、b都不贊成的學生人數為+1,贊成a而不贊成b的人數為30－x，贊成b而不贊成a的人數為33－x.
依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.
所以對a、b都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人.
●錦囊妙計
1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對於用描述法給出的集合,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質p；要重視發揮圖示法的作用，通過數形結合直觀地解決問題.
2.注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如ab,則有a=或a≠兩種可能，此時應分類討論.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)集合m=,n=,則( )
2.(★★★★)已知集合a=,b=,若a中元素至多有1個，則a的取值範圍是
4.(★★★★)x、y∈r,a=,b=,當a∩b只有乙個元素時，a,b的關係式是
三、解答題
5.(★★★★★)集合a=,b=，c=,求當a取什麼實數時，a∩b 和a∩c=同時成立.
6.(★★★★★)已知是等差數列，d為公差且不為0，a1和d均為實數，它的前n項和記作sn,設集合a=,b=.
試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明.
(1)若以集合a中的元素作為點的座標，則這些點都在同一條直線上；
(2)a∩b至多有乙個元素；
(3)當a1≠0時，一定有a∩b≠.
7.(★★★★)已知集合a=,集合b=,當a∩b=b時，求b的值.
8.(★★★★)設f(x)=x2+px+q,a=,b=.
(1)求證：ab;
(2)如果a=，求b.
參***
難點磁場
解：由得x2+(m－1)x+1=0
∵a∩b≠
∴方程①在區間［0，2］上至少有乙個實數解.
首先，由δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,當m≥3時，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有負根，不符合要求.
當m≤－1時，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在區間(0，1］內，從而方程①至少有乙個根在區間［0，2］內.
故所求m的取值範圍是m≤－1.
殲滅難點訓練
一、1.解析：對m將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(n∈z),m=∪,對n將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈z),n=∪∪∪.
答案：c
2.解析：∵a∪b=a，∴ba,又b≠,
∴即2＜m≤4.
答案：d
二、或a≥
4.解析：由a∩b只有1個交點知，圓x2+y2=1與直線=1相切，則1=,即ab=.
答案：ab=
三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴b=.
由x2+2x－8=0，∴c=,又a∩c=，∴2和－4都不是關於x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而a∩b ,即a∩b≠,
∴3是關於x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.
當a=5時，得a=，∴a∩c=，這與a∩c=不符合，所以a=5(捨去)；當a=－2時，可以求得a=，符合a∩c=，a∩b ，∴a=－2.
6.解：(1)正確.在等差數列中，sn=,則(a1+an),這表明點(an,）的座標適合方程y (x+a1),於是點(an,)均在直線y=x+a1上.
(2)正確.設(x,y)∈a∩b,則(x,y)中的座標x,y應是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=－4(*)，當a1=0時，方程(*)無解，此時a∩b=；當a1≠0時，方程(*)只有乙個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解.
∴a∩b至多有乙個元素.
(3）不正確.取a1=1,d=1,對一切的x∈n*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,這時集合a中的元素作為點的座標，其橫、縱座標均為正，另外，由於a1=1≠0.如果a∩b≠,那麼據(2）的結論，a∩b中至多有乙個元素(x0,y0）,而x0=＜0,y0=＜0,這樣的(x0,y0）a,產生矛盾，故a1=1,d=1時a∩b=，所以a1≠0時，一定有a∩b≠是不正確的.
7.解：由w=zi+b得z=,
∵z∈a,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化簡得|w－(b+i)|≤1.
∴集合a、b在復平面內對應的點的集合是兩個圓面，集合a表示以點(2，0）為圓心，半徑為2的圓面，集合b表示以點(b,1)為圓心，半徑為1的圓面.
又a∩b=b，即ba，∴兩圓內含.
因此≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2.
8.(1)證明：設x0是集合a中的任一元素，即有x0∈a.
∵a=,∴x0=f(x0).
即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈b,故ab.
(2)證明：∵a==,
∴方程x2+(p－1)x+q=0有兩根－1和3，應用韋達定理，得
∴f(x)=x2－x－3.
於是集合b的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根.
將方程(*)變形，得(x2－x－3）2－x2=0
解得x=1,3, ,－.
故b=.
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