一、選擇題
1．已知m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是
a．若α⊥β，α∩β＝m，且n⊥m，則n⊥α或n⊥β
b．若m不垂直於α ，則m不可能垂直於α內的無數條直線
c．若α∩β＝m，n∥m，且nα，nβ，則n∥α且n∥β
d．若α⊥β，m∥n，n⊥β，則m∥α
解析：∵n∥m，mα，nα，∴n∥α；同理可知n∥β.故選c.
答案：c
2．已知m是平面α的一條斜線，點aα，l為過點a的一條動直線，那麼下列情形可能出現的是
a．l∥m，l⊥α b．l⊥m，l⊥α
c．l⊥m，l∥α d．l∥m，l∥α
解析：設m在平面α內的射影為n，當l⊥n且與α無公共點時，l⊥m，l∥α.
答案：c
3．(2023年杭州質檢)設a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則a⊥b的乙個充分條件是
a．a⊥c，b⊥c b．α⊥β，aα，bβ
c．a⊥α，b∥α d．a⊥α，b⊥α
解析：對於選項c，在平面α內作c∥b，因為a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；a，b選項中，直線a，b可能是平行直線，也可能是異面直線；d選項中一定有a∥b.故選c.
答案：c
4．如圖，在正四面體p－abc中，d、e、f分別是ab、bc、ca的中點，下面四個結論不成立的是
a．bc∥平面pdf
b．df⊥平面pae
c．平面pdf⊥平面pae
d．平面pde⊥平面abc
解析：因為bc∥df，所以bc∥平面pdf，a成立；
易證bc⊥平面pae，bc∥df，所以結論b、c均成立；
點p在底面abc內的射影為△abc的中心，不在中位線de上，故結論d不成立．
答案：d
5．如圖，已知六稜錐p－abcdef的底面是正六邊形，pa⊥平面abc，pa＝2ab，則下列結論正確的是
a．pb⊥ad
b．平面pab⊥平面pbc
c．直線bc∥平面pae
d．直線pd與平面abc所成的角為45°
解析：∵ad與pb在平面abc內的射影ab不垂直，∴a不成立；又平面pab⊥平面pae，∴平面pab⊥平面pbc也不成立；∵bc∥ad，∴bc∥平面pad，∴直線bc∥平面pae也不成立；在rt△pad中，pa＝ad＝2ab，∴∠pda＝45°，∴d正確．
答案：d
6．(2023年浙江)已知矩形abcd，ab＝1，bc＝.將△abd沿矩形的對角線bd所在的直線進行翻摺，在翻摺過程中
a．存在某個位置，使得直線ac與直線bd垂直
b．存在某個位置，使得直線ab與直線cd垂直
c．存在某個位置，使得直線ad與直線bc垂直
d．對任意位置，三對直線「ac與bd」，「ab與cd」，「ad與bc」均不垂直
解析：當ac＝1時，由dc＝1，ad＝，得∠acd為直角，dc⊥ac，又因為dc⊥bc，所以dc⊥面abc.
所以dc⊥ab.
答案：b
二、填空題
7．已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α∥β.當滿足條件________時，有m⊥β (填所選條件的序號)．
解析：若m⊥α，α∥β，則m⊥β.
答案：②④
8．已知平面α⊥β，α∩β＝l，p是空間一點，且p到平面α、β的距離分別是1、2，則點p到l的距離為________．
解析：如圖，∵po平面pab，
∴l⊥po.
∴po就是p到直線l的距離，
∵α⊥β，∴paob為矩形，
po＝＝.
答案：9．(2023年西安模擬)在三稜柱abc－a1b1c1中，各稜長相等，側稜垂直於底面，點d是側面bb1c1c的中心，則ad與平面bb1c1c所成角的大小是________．
解析：如圖，取bc中點e，連線de、ae、ad，依題意知三稜柱為正三稜柱，易得ae⊥平面bb1c1c，故∠ade為ad與平面bb1c1c所成的角．設各稜長為1，則ae＝，de＝，
tan∠ade＝＝＝，
∴∠ade＝60°.
答案：60°
三、解答題
10．在幾何體abcde中，∠bac＝90°，dc⊥平面abc，eb⊥平面abc，f是bc的中點，ab＝ac＝be＝2，cd＝1.
(1)求證：dc∥平面abe；
(2)求證：af⊥平面bcde；
(3)求證：平面afd⊥平面afe.
證明：(1)∵dc⊥平面abc，eb⊥平面abc
∴dc∥eb，又∵dc平面abe，eb平面abe，
∴dc∥平面abe.
(2)dc⊥平面abc，∴dc⊥af，
又∵ab＝ac，f為bc的中點
∴af⊥bc，∴af⊥平面bcde.
(3)由(2)知af⊥平面bcde，
∴af⊥ef，在三角形def中，由計算知df⊥ef，
∴ef⊥平面afd，
又ef平面afe，
∴平面afd⊥平面afe.
11．(2023年烏魯木齊質檢)在四面體abcd中，ab＝ac＝1，∠bac＝90°，ad＝，△bcd是正三角形．
(1)求證：ad⊥bc；
(2)求ab與平面acd所成角的大小．
解：(1)證明：如圖，取bc的中點e，連線ed、ea.
∵ab＝ac，dc＝db，
∴ae⊥bc，de⊥bc.
∵ae∩de＝e，∴bc⊥平面ade，
∴bc⊥ad.
(2)設ab與平面acd所成角的大小為θ，b到平面acd的距離為d，
則sinθ＝.下面用等體積法求d：
∵ab＝ac＝1，∠bac＝90°，
即△bac是等腰直角三角形，
∴bc＝，ae＝.
∵△bcd為等邊三角形，
∴de＝sin60°＝，
∴cos∠aed＝＝－，
∴sin∠aed＝＝，
∴s△aed＝de·ae·sin∠aed＝.
∵bc⊥平面ade，
∴va－bcd＝vc－aed＋vb－aed＝s△aed×bc＝.
△acd中，ac2＋cd2＝3＝ad2，
∴∠acd＝90°，
∴s△acd＝ac·cd＝，
∴s△acd×d＝vb－acd＝va－bcd＝，
∴d＝.
∴sinθ＝＝，∴θ＝45°，
即ab與平面acd所成角的大小為45°.
12．如圖，在五稜錐p－abcde中，pa⊥平面abcde，ab∥cd，ac∥ed，ae∥bc，∠abc＝45°，ab＝2，bc＝2ae＝4，三角形pab是等腰三角形．
(1)求證：平面pcd⊥平面pac；
(2)求直線pb與平面pcd所成角的大小；
(3)求四稜錐p－acde的體積．
解：(1)證明：在△abc中，
因為∠abc＝45°，bc＝4，ab＝2，
所以ac2＝ab2＋bc2－2ab·bc·cos45°＝8，
因此ac＝2，故bc2＝ac2＋ab2，所以∠bac＝90°.
又pa⊥平面abcde，ab∥cd，所以cd⊥pa，cd⊥ac.
又pa，ac平面pac，且pa∩ac＝a，
所以cd⊥平面pac.又cd平面pcd，
所以平面pcd⊥平面pac.
(2)因為△pab是等腰三角形，
所以pa＝ab＝2，
因此pb＝＝4.
又ab∥cd，
所以點b到平面pcd的距離等於點a到平面pcd的距離．
由於cd⊥平面pac，在rt△pac中，pa＝2，ac＝2，
所以pc＝4，
故pc邊上的高為2，此即為點a到平面pcd的距離，
所以b到平面pcd的距離為h＝2.
設直線pb與平面pcd所成的角為θ，
則sinθ＝＝＝.
又θ∈，所以θ＝.
(3)因為ac∥ed，cd⊥ac，
所以四邊形acde是直角梯形．
因為ae＝2，∠abc＝45°，ae∥bc，
所以∠bae＝135°，因此∠cae＝45°，
故cd＝ae·sin45°＝2×＝，
ed＝ac－ae·cos45°＝2－2×＝，
所以s四邊形acde＝×＝3.
又pa⊥平面abcde，所以vp－acde＝×3×2＝2.
[熱點**]
13．如圖，在正方形abcd中，e，f分別是ab，bc的中點，現在沿de，df及ef把△ade，△cdf和△bef折起，使a，b，c三點重合，重合後的點記作p，那麼在四面體p－def中必有
a．dp⊥平面pef b．dm⊥平面pef
c．pm⊥平面def d．pf⊥平面def
解析：在正方形中，da⊥ea，dc⊥fc，
∴在摺疊後的四面體p－def中有dp⊥ep，dp⊥fp，
又ep∩fp＝p，
∴dp⊥平面pef.
答案：a
14．如圖，在斜三稜柱abc－a1b1c1中，∠bac＝90°，bc1⊥ac，則c1在底面abc上的射影h必在________上．
解析：由bc1⊥ac，又ba⊥ac，
則ac⊥平面abc1，
因此平面abc⊥平面abc1，
因此c1在底面abc上的射影h在直線ab上．
答案：ab
15．如圖，四邊形abcd是矩形，平面abcd⊥平面bce，be⊥ec.
(1)求證：平面aec⊥平面abe；
(2)點f在be上，若de∥平面acf，求的值．
解：證明：(1)∵abcd為矩形，
∴ab⊥bc，∵平面abcd⊥平面bce，
∴ab⊥平面bce，∴ce⊥ab.
∵ce⊥be，ab平面abe，be平面abe，ab∩be＝b，
∴ce⊥平面abe.
∵ce平面aec，∴平面aec⊥平面abe.
(2)連線bd交ac於點o，連線of.
∵de∥平面acf，de平面bde，平面acf∩平面bde＝of，
∴de∥of.又∵矩形abcd中，o為bd中點，
∴f為be中點，∴＝.
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