------剖析求曲線的切線問題
四川省遂寧高階實驗中學陳玉華（629000）
隨著高考的深入，逐年加大對教材新增內容的考核力度，「導數」的地位日顯重要，而其中對求曲線的切線問題是又一難點、高考熱點問題，在此，筆者針對這一問題而又易出錯之處進行剖析，供大家賞析。
例1：求曲線y=2x-x3過點p(1,1)的切線方程。
析：易知點p(1,1)在曲線y=2x-x3上
∴ f/(1）=2-3×1= -1
∴所求切線方程為y-1= -(x-1)即x+y-2=0.
答案果真這樣嗎？在此，筆者另舉一例.
例2：試根據下列條件，寫出相應的切線方程.
(1)求曲線y=2x-x3在點p(1,1)處的切線方程.
(2)求過點p(2,0)與曲線y=2x-x3相切的直線方程.
析：揭示f/(x0)表示曲線y=f(x)在點p(x0，f(x0))處的切線斜率，強調該點p必須在曲線y=f(x)上.
(1) 由於點p(1,1)在y=2x-x3上，故f/(1）=2-3×1= -1,
∴所求切線方程y-1= -（x-1）即x+y-2=0.
(2) ∵點p(2,0)不在曲線y=2x-x上，
∴不可直接利用切線方程y―y0=f/(x0)(x-x0)求解,
設過點p(2,0)的直線與曲線相切時的切點座標為(x0,y0)，
有y0=2x0-x0且k=f/(x0)=2―3x0，
故通過點(x0,y0)曲線的所有切線方程為y- (2x0-x0)=(2-3x0)(x-x0)，
把點p(2,0)代入上式，得0-(2x0-x0)=(2-3x0)(2-x0)解得x=1，
∴y0=2x0-x0=1,∴k=-1
∴過點(2,0)斜率k=-1的切線方程y-0=- (x-2)即x+y-2=0為所求方程.
通過例題2，你體會到了什麼呢？
據現行高中新教材《數學》第三冊(選修ⅱ)，用運動變化觀點將曲線c的割線pq的極限位置所在的直線定義為曲線y=f(x)在點p(x0,y0)的處的切線，在這種定義下，曲線y=f(x)在點p(x0,y0)處的切線如果存在，則切線只一條，而過曲線上的點p(x0,y0)的切線如果存在，則切線可能不止一條，而且點p(x0,y0)也不一定是切點。可見「過曲線上的點p的切線」與「曲線上的點p處的切線」是兩個不同的概念，將這兩個概念混為一談，以致認為過曲線y=f(x)上的點p(1,1)的切線的斜率就是f/(1)是錯誤的根源所在。
由曲線y=2x-x3的圖象(右下)可知,過點p(1,1)處的切線有兩條.
那麼例題1我們就應該這樣求解y
解：設經過點p(1,1)的直線p(1,1)
與曲線c相切於點(x0,y00x
則由f/(x)=2-3x得到在點(x0,y0)處的斜率
k=f(x0)=2―3x0且y0=2x0-x0
∴通過點(x0,y0)曲線的所有切線方程為y- (2x0-x0)=(2-3x0)(x-x0)
又因為切點在曲線c上以及點p(1,1)在切線上.
∴1-(2x0-x0)=(2-3x0)(1-x0)解得x1=1或x2=-1/2，
∴k=-1 或 k=5/4
∴過點p(1,1)的切線方程為x+y-2=0或5x-4y-1=0.
通過上面兩個例題的分析，大家在以後的求解過程中，
（1）吃透概念。正確區分「過曲線上的點p的切線」與「曲線上的點p處的切線」兩個不同的概念及相應不同的解法。
（2）審清題意。此處所求的切線只說過p點，而並沒有說點p一定是切點，故切線的斜率k與f/(1)未必相等。
只有這樣大家在以後的解題中，盡量避免審題和解題失誤，以不變應萬變，真正達到活學活用的程度，最後讓我們共同來賞析下面這個例題：
（2023年全國高考天津卷）已知拋物線c1：y=x2+2x和c：y=－x2+a，如果直線l同時是c1和c2的切線，稱l是c1和c2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.
（1）a取什麼值時,c1和c2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；
（2）若c1和c2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分.
解：（1）函式y=x2+2x的導數y′=2x+2,曲線c1在點p（x1,x+2x1）的切線方程是：
y－(x+2x1)=(2x1+2)(x－x1),即 y=(2x1+2)x－x ①
函式y=－x2+a的導數y′=－2x, 曲線c2 在點q（x2,－x+a）的切線方程是即y－(－x+a)=－2x2(x－x2). y=－2x2x+x+a . ②
如果直線l是過p和q的公切線，則①式和②式都是l的方程，
所以 x1+1=－x2
－ x=x+a.
消去x2得方程 2x+2x2+1+a=0.
若判別式△=4－4×2（1+a）= 0時，即a=－時解得x1=－，
此時點p與q重合.
即當a=－時c1和c2有且僅有一條公切線，
由①得公切線方程為y=x－.
（2）證明：由（ⅰ）可知.當a<－時c1和c2有兩條公切線
設一條公切線上切點為：p（x1,y1）, q（x2 , y2 ）.
其中p在c1上，q在c2上，則有x1+x2=－1,
y1+y2=x+2x1+(－x+a)= x+2x1－(x1+1)2+a=－1+a .
線段pq的中點為
同理，另一條公切線段p′q′的中點也是
所以公切線段pq和p′q′互相平分.
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