a級基礎達標演練
(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．計算1－2sin222.5°的結果等於
a. b. c. d.
解析 1－2sin222.5°＝cos 45°＝.
答案 b
2．(2011·北京西城月考)若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin等於( )．
a．－ b. c．－ d.
解析由已知得sin α＝－，∴sin＝sin αcos＋cos αsin＝＝－.
答案 a
3．已知x∈，cos x＝，則tan 2x等於( )．
a. b．－ c. d．－
解析 ∵x∈，cos x＝.∴sin x＝－，
∴tan x＝－.∴tan 2x＝＝＝－.
答案 d
4．(2012·銀川模擬)已知α，β都是銳角，若sin α＝，sin β＝，則
ab.c.和d．－和－
解析由α，β都為銳角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝.
答案 a
5．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝( )．
ab．－
cd．－
解析對於cos＝cos＝
coscos＋sinsin，
而＋α∈，－∈，
因此sin＝，sin＝，
則cos＝×＋×＝.
答案 c
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知sin(π＋α)＝－，且α是第二象限角，那麼sin 2
解析 ∵由題意知，sin α＝，且α是第二象限角，
∴cos α＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
答案 －
7．已知tan＝3，則sin 2θ－2cos2θ的值為________．
解析法一 ∵tan＝3，
∴＝3，
解得tan θ＝.
∵sin 2θ－2cos2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1
＝－－1
＝－－1
＝－－1＝－.
法二 sin 2θ－2cos2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1
＝－cos－sin－1
＝－－－1
＝－－－1＝－.
答案 －
8．函式f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
解析 ∵f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，∴f(x)min＝1－.
答案 1－
三、解答題(共23分)
9．(11分)已知sin＝，且x∈，求.
解 ∵x∈，∴＋x∈，
∴cos＝－，
∴tan＝－，
∴＝＝－.
10．(12分)(2011·四川)已知函式f(x)＝sin＋cos，x∈r.
(1)求f(x)最小正週期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β ≤，
求證：[f(β)]2－2＝0.
(1)解 f(x)＝sin xcos＋cos xsin＋cos xcos＋sin xsin＝sin x－cos x＝2sin，∴f(x)的最小正週期t＝2π，最小值f(x)min＝－2.
(2)證明由已知得cos αcos β＋sin αsin β＝，
cos αcos β－sin αsin β＝－，兩式相加得2cos αcos β＝0.
∵0＜α＜β≤，
∴cos β＝0，則β＝，
∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
b級綜合創新備選
(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2011·東莞模擬)已知tan＝，且－＜α＜0，則等於
ab．－
cd.解析由tan＝＝，
得tan α＝－.又－＜α＜0，
所以sin α＝－.
故＝＝2sin α＝－.
答案 a
2．(2012·泉州模擬)已知cos＋sin α＝，則sin的值是( )．
a．－ b. c．－ d.
解析 cos＋sin α＝sin α＋cos α
＝sin＝，
所以sin＝－sin＝－.
答案 c
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．化簡
解析原式＝tan(90°－2α)·
答案 4．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，則tan αtan
解析由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝，cos αcos β＋sin αsin β＝，則有cos αcos β＝，sin αsin β＝，＝，即tan αtan β＝.
答案 三、解答題(共22分)
5．(10分)在△abc中，a、b、c為三個內角，f(b)＝4cos b·sin2＋cos 2b－2cos b.
(1)若f(b)＝2，求角b；
(2)若f(b)－m＞2恆成立，求實數m的取值範圍．
解 (1)f(b)＝4cos b×＋cos 2b－2cos b
2cos b(1＋sin b)＋cos 2b－2cos b
2cos bsin b＋cos 2b
sin 2b＋cos 2b＝2sin.
∵f(b)＝2，∴2sin＝2，＜2b＋＜π，
∴2b＋＝.∴b＝.
(2)f(b)－m＞2恆成立，即2sin＞2＋m恆成立．
∵0＜b＜π，∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2.
∴m＜－4.
6．(12分)(1)①證明兩角和的余弦公式c(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
②由c(α＋β)推導兩角和的正弦公式s(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
(2)已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，求cos(α＋β)．
(1)證明 ①如圖，在直角座標系xoy內作單位圓o，並作出角α，β與－β，使角α的始邊為ox軸非負半軸，交⊙o於點p1，終邊交⊙o於點p2；角β的始邊為op2，終邊交⊙o於點p3，角－β的始邊為op1，終邊交⊙o於點p4.
則p1(1,0)，p2(cos α，sin α)，p3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，p4(cos(－β)，sin(－β))．
由p1p3＝p2p4及兩點間的距離公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展開並整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
②由①易得，cos＝sin α，
sin＝cos α.
sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝coscos(－β)－sinsin(－β)
＝sin αcos β＋cos αsin β.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
(2)解 ∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝－.
∵β∈，tan β＝－，
∴cos β＝－，sin β＝.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
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