北京市海淀區2013-2014學年高一年級第一學期期末 2014.1
本試卷共100分.考試時間90分鐘.
一.選擇題：本大題共8小題, 每小題4分,共32分. 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知全集則
ab. c. d.
2.代數式的值為
abcd.
3.已知向量若共線,則實數的值為
abc.或 d.或
4.函式的定義域為
ab. c. d.
5.如圖所示,矩形中, 點為中點,
若,則abcd.
6.函式的零點所在的區間是
abcd.()
7.下列四個函式中，以為最小正週期，且在區間上為減函式的是
a. b. c. d.
8.已知函式,則下列說法中正確的是
a.若，則恆成立
b.若恒成立，則
c.若，則關於的方程有解
d.若關於的方程有解，則
二.填空題：本大題共6小題, 每小題4分,共24分.把答案填在題中橫線上.
9. 已知角的頂點在座標原點，始邊在軸的正半軸，終邊經過點,則
10.比較大小： (用「」,「」或「」連線).
11.已知函式,則的值域為 .
12.如圖，向量若則
13.已知，則
14.已知函式，任取，記函式在區間上的最大值為最小值為，記. 則關於函式有如下結論：
①函式為偶函式；
②函式的值域為；
③函式的週期為；
④函式的單調增區間為.
其中正確的結論有填上所有正確的結論序號）
三.解答題:本大題共4小題,共44分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分10分）已知函式，其中為常數.
（ⅰ）若函式在區間上單調，求的取值範圍；
（ⅱ）若對任意，都有成立，且函式的圖象經過點，求的值.
16.（本小題滿分12分）
已知函式.
（ⅰ）請用「五點法」畫出函式在長度為乙個週期的閉區間上的簡圖（先在所給的**中填上所需的數值，再畫圖）；
（ⅱ）求函式的單調遞增區間；
（ⅲ）當時，求函式的最大值和最小值及相應的的值.
17.（本小題滿分12分）
已知點，點為直線上的乙個動點.
（ⅰ）求證：恒為銳角；
（ⅱ）若四邊形為菱形，求的值.
18.（本小題滿分10分）
已知函式的定義域為，且的圖象連續不間斷. 若函式滿足：對於給定的（且），存在，使得，則稱具有性質.
（ⅰ）已知函式，，判斷是否具有性質，並說明理由；
（ⅱ）已知函式若具有性質，求的最大值；
（ⅲ）若函式的定義域為，且的圖象連續不間斷，又滿足，
求證：對任意且，函式具有性質.
海淀區高一年級第一學期期末練習
數學 參***及評分標準2014．1
一、選擇題（本大題共8小題,每小題4分,共32分）
二、填空題（本大題共4小題,每小題4分）
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.（本小題滿分10分）
解：(i)因為函式，
所以它的開口向上，對稱軸方程為2分
因為函式在區間上單調遞增，所以，
所以4分
（ⅱ）因為，
所以函式的對稱軸方程為，所以6分
又因為函式的圖象經過點，所以有8分
即，所以或10分
16．（本小題滿分12分）
解：（i） 令，則．填表：
2分………………4分
（ⅱ）令6分
解得所以函式的單調增區間為
………………………8分（ⅲ）因為，所以10分
所以當，即時，取得最小值；
當，即時，取得最大值112分
17.（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）因為點在直線上，所以點1分
所以，所以3分
所以4分
若三點在一條直線上，則，
得到，方程無解，所以5分
所以恒為銳角6分
（ⅱ）因為四邊形為菱形，
所以，即8分
化簡得到，所以，所以9分
設，因為，
所以，所以11分
12分18.（本小題滿分10分）
解：（ⅰ）設，即
令, 則
解得,所以函式具有性質3分
（ⅱ）的最大值為
首先當時，取
則， 所以函式具有性質5分
假設存在，使得函式具有性質
則當時，，，
當時，，，
所以不存在，使得
所以，的最大值為7分
（ⅲ）任取
設，其中
則有……以上各式相加得：
當中有乙個為時，不妨設為，
即則函式具有性質
當均不為時，由於其和為，則必然存在正數和負數，
不妨設其中，
由於是連續的，所以當時，至少存在乙個
（當時，至少存在乙個）
使得，即
所以，函式具有性質10分
說明： 若有其它正確解法，請酌情給分，但不得超過原題分數.
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