高三文科數學試題
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡相應位置將正確結論的代號用2b鉛筆塗黑．
1．設集合，則（ ▲ ）
abcd．
答案: a
命題意圖: 考查解不等式、集合運算，簡單題．
2．已知複數,，則在復平面內對應的點位於（ ▲ ）
a．第一象限b．第二象限c．第三象限 d．第四象限
答案: d
命題意圖: 考查複數概念及運算，簡單題．
3．下列命題錯誤的是（ ▲ ）
a．命題「若，則」的逆否命題為「若，則」
b．若「」為假命題，則，均為假命題若命題
c．若命題，，則「」為：，
d．「」是「」的充分不必要條件
答案: b
命題意圖: 考查命題、簡易邏輯基礎知識，簡單題．
4．如圖，某幾何體的正檢視與側檢視都是邊長為的正方形，且它的體積為，則該幾何體的俯檢視可以是（ ▲ ）
答案: c
命題意圖: 考查三檢視及體積的運算，空間想象能力，簡單題．
5．樣本的平均數為，樣本的平均數為，若樣本的平均數，其中，則，的大小關係為（ ▲ ）
abcd．不能確定
答案: a
命題意圖: 考查樣本平均數，簡單題．
6. 設、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，給出下列命題：
① 若∥，∥，則若，，則∥；
③ 若∥，∥，則若，，則∥；
上述命題中，所有真命題的序號是（ ▲ ）
abcd．②④
答案: d
命題意圖: 考查線面間的位置關係，簡單題．
7. 某程式框圖如圖所示，該程式執行後輸出的的值是（ ▲ ）
abc． d．
答案: b
命題意圖: 考查程式框圖，迴圈結構，週期性等知識，中等題．
8. 設，，，則，，的大小關係是（ ▲ ）
ab． cd．
答案: b
命題意圖: 考查指數、對數運算，中等題．
9. 已知點、為拋物線上的不同兩點，點為拋物線的焦點，若，則直線的斜率為（ ▲ ）
答案: d
命題意圖: 考查拋物線，直線方程，中等題．
10. 已知函式在恰有兩個不同的零點，則下列結論正確的是（ ▲ ）
ab．cd．答案: c
命題意圖: 考查函式零點，導數的應用，較難題．
【解析】原題等價於方程在恰有兩個不同的解，等價於函式與函式的圖象在恰有兩個交點（如圖），在內的交點橫座標為，且此時直線與曲線相切，切點為，又時，，，故，∴。即．
第ii卷（非選擇題，共100分）
二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分．請在答題卡上答題．
11．等差數列的前項和為，若，則
答案：命題意圖:考查等差數列的，簡單題．
12. 已知直線及直線截圓所得的弦長均為，則圓的面積是
答案：命題意圖:考查直線與圓，簡單題．
13. 若實數滿足，且取最小值的最優解有無窮多個，則實數的值為
答案：1
命題意圖:考查線性規劃，中等題．
14. 若函式有且只有二個零點，則的值是
答案：或
命題意圖:考查函式的零點及導數的應用，中等題．
15. 對於圓錐曲線，給出以下結論：
①設a、b為兩個定點，k為非零常數，，則動點p的軌跡為雙曲線；
②過定圓c上一定點a作圓的動點弦ab，o為座標原點，若，則動點p的軌跡為圓；
③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線有相同的焦點.
⑤橢圓c:上滿足的點有4個（其中為橢圓c的焦點）.
其中正確結論的序號為寫出所有正確結論的序號）．
答案：②③④
命題意圖:考查圓錐曲線等基礎知識，中等題．
三、解答題：本大題共6個小題，滿分75分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟. 請在答題卡指定區域答題．
16.（本題滿分12分）
已知，，函式.
（ⅰ）當時，求函式的單調遞增區間；
（ⅱ）設的內角的對邊分別為若，求的值.
命題意圖:考查向量、三角函式、解三角形，中等題．
解：（ⅰ）
令,解得，，又因為，所以或，即函式的單調遞增區間為和 ……………6分
（ⅱ）因為，所以，又，
所以12分
17.（本題滿分12分）
是指大氣中直徑小於或等於微公尺的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，我國的標準採用世衛組織設定的最寬限值，即日均值在微克／立方公尺以下空氣質素為一級；在微克／立方公尺~微克／立方公尺之間空氣質素為二級；在微克／立方公尺以上空氣質素為超標．
某市環保局從該市市區2023年某月每天的監測資料中隨機抽取天的資料作為樣本，得到如下莖葉圖．
（ⅰ）若從這天的資料中隨機抽出天，求至多有一天空氣超標的概率；
（ⅱ）根據這天的日均值來估計當月（按30天計算）的空氣質素情況，則該月中平均有多少天的空氣質素達到一級或二級？
日均值（單位：微克／立方公尺）
命題意圖:考查隨機事件的概率，古典概型，中等題．
解：（ⅰ）由莖葉圖可知天中有天空氣質素未超標，有天空氣質素超標．
記未超標的天為，超標的天為，則從天抽取天的所有情況為
基本事件的總數為4分
記「至多有一天空氣超標」為事件，則「兩天都超標」為事件，則8分
（ⅱ）天中空氣質素達到一級或二級的頻率為，
所有估計該月中有20天的空氣質素達到一級或二級12分
18. （本題滿分12分）
如圖，四稜錐中，底面是直角梯形，∥，，，側面⊥底面，且為等腰直角三角形，，為的中點．
（ⅰ）求證：⊥；
（ⅱ）求證：∥平面．
命題意圖:考查空間線、面的位置關係，空間想象能力，中等題．
證明：（ⅰ）取的中點，連，因為,， 所以⊥,⊥,且,
所以⊥面,因為面，所以⊥
……………………6分
（ⅱ）取的中點，連，因為為中點，所以∥，又因為∥且，
所以四邊是平行四邊形，所以∥，又，
，所以，面∥平面，又面，所以∥平面12分
19.（本題滿分12分）
數列中，，數列是公比為的等比數列．
（ⅰ）求使成立的的取值範圍；
（ⅱ）求數列的前項的和．
命題意圖:考查等比數列及其求和公式，分組求和，中等題．
解：（ⅰ）∵數列是公比為q的等比數列，由得，
即解得4分
（ⅱ）由數列是公比為q的等比數列，
得，這表明數列的所有奇數項成等比數列，
所有偶數項成等比數列，且公比都是q，…………8分
又 …………10分
當q=1時，
…………12分
20.（本題滿分13分）
已知橢圓過點，且離心率.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）設直線與橢圓交於兩點，座標原點到直線的距離為，求面積的最大值.
命題意圖:考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關係及不等式的綜合運用，較難題．
解：（ⅰ）由題意得解得，所以橢圓的方程為…………5分
（ⅱ）①當⊥軸時，易得6分
②當與軸不垂直時，設直線的方程為，
由已知，得，把代入橢圓方程整理得
，所以…………8分
所以11分
當且僅當，即時等號成立，此時
當時12分
綜上所述，，所以三角形的面積的最大值……13分
21.（本題滿分14分）
已知函式，．
（ⅰ）當時，若直線過點且與曲線相切，求直線的線方程；
（ⅱ）當時，判斷方程在區間上有無實根；
（ⅲ）若時，不等式恆成立，求實數的取值範圍.
命題意圖:考查函式與導數綜合知識的運用，較難題．
解：（ⅰ）令切點為，當時，，，
，切線的方程為
又直線過點
切線方程為5分
（ⅱ）時，令，
，在上為增函式
又，所以在內無實數根10分
（ⅲ）恆成立， 即恆成立，
又，則當時，恆成立，
令，只需小於的最小值，
11分， ， 當時，
在上單調遞減，在的最小值為，
則的取值範圍是14分
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