數學試卷
（滿分100分，90分鐘完成，允許使用計算器，答案一律寫在答題紙上）
命題：段長榮審核：楊逸峰校對：紀愛萍
一．填空題：（共12小題，每小題3分）
1. a=,b=，用列舉法表示集合b的結果為
2. 已知集合a=，b=，則a∩b
3. 寫出x>1的乙個必要非充分條件
4. 不等式的解集為用區間表示）
5. 命題「已知x、y∈r，如果x+y≠2，那麼x≠0或y≠2.」是_____命題。（填
「真」或「假」）
6. 集合a=有且僅有兩個子集，則a
7. 若不等式|ax+2|<6的解集為（-1，2），則實數a等於
8. 不等式》x的解集是
9. 已知a2+b2=1，則的最大值為
10. δ和各代表乙個自然數，且滿足+=1，則當這兩個自然數的和取最小
值時11. 已知集合a=，b=，若a∪b=b，則實數m的取值範圍
是12. 如果關於x的三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，
有且只有乙個方程有實數解，則實數a的取值範圍是
二．選擇題：（共4小題，每題3分）
13. 設命題甲為「0 （a）充分非必要條件；（b）必要非充分條件；
（c）充要條件； （d）既非充分又非必要條件
14. 下列命題中正確的是
（a）若ac>bc，則a>bb) 若a2>b2，則a>b
（c）若，則a15. 設x>y>0，則下列各式中正確的是
（a）x>>>y （b）x>>>y
（c）x>> y > （d）x>> y >
16. 下列每組中兩個函式是同一函式的組數共有
（1）f(x)=x2+1和f(v)=v2+1
（２）和
（３）y=，x∈和y=，x∈
（４）y=1和y=x0
（５）y=和
（6）y=x和
（a）1組 （b）3組 （c）2組 （d）4組
三．解答題：（共5小題，本大題要有必要的過程）
17. （本題8分）已知集合，，且，
求實數的取值範圍。
18. （本題8分）已知a為非負實數，解關於x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
19. （本題10分）先閱讀下列不等式的證法，再解決後面的問題：
已知a1、a2∈r，a1+a2=1，求證：a12+a22≥.
證明：建構函式f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,
f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a12+a22
因為對一切x∈r,恒有f(x)≥0成立，所以δ=4-8(a12+a22)≤0,
從而證得a12+a22≥.
（1）若 a1、a2、…、an∈r，a1+a2+…+an=1，請寫出上述結論的推廣形式；
（2）參考上述解法，對你推廣的結論加以證明。
20. （本題12分）某商場在**期間規定：商場內所有商品按標價的80%**；同時，當顧客在該商場內消費滿一定金額後，按如下方案相應獲得第二次優惠：
根據上述**方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠。例如：購買標價為600元的商品，則消費金額為480元，480∈[400,500),所以獲得第二次優惠金額為60元，獲得的優惠總額為：
600×0.2+60=180（元）。
設購買商品的優惠率=。
試問：（1）購買一件標價為1000元的商品，顧客得到的優惠率是多少？
（2）設顧客購買標價為x元（x∈[250,1000]) 的商品獲得的優惠總額為y元,試建立y關於x的函式關係式；
（3）對於標價在[625，800）（元）內的商品，顧客購買商品的標價的取值範圍為多少時，可得到不小於的優惠率？（取值範圍用區間表示）
21. （本題14分）
已知關於x的不等式kx22x+6k<0，（k>0）
（1）若不等式的解集為,b=，用列舉法表示集合b的結果為1}}
23. 已知集合a=，b=，則a∩b2，5）}
24. 寫出x>1的乙個必要非充分條件x>0（答案不唯一）
25. 不等式的解集為用區間表示）（-∞，0）∪[1,+∞)
26. 命題「已知x、y∈r，如果x+y≠2，那麼x≠0或y≠2.」是_____命題。（填
「真」或「假」）真
27. 集合a=有且僅有兩個子集，則a0或
28. 若不等式|ax+2|<6的解集為（-1，2），則實數a等於4
29. 不等式》x的解集是0，2）
30. 已知a2+b2=1，則的最大值為1
31. δ和各代表乙個自然數，且滿足+=1，則當這兩個自然數的和取最小
值時4和12
32. 已知集合a=，b=，若a∪b=b，則實數m的取值範圍
是1)33. 如果關於x的三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，
有且只有乙個方程有實數解，則實數a的取值範圍是
(-2,]∪[-1,0)∪(,)
二．選擇題：（共4小題，每題3分）
34. 設命題甲為「0 （a）充分非必要條件；（b）必要非充分條件；
（c）充要條件； （d）既非充分又非必要條件
35. 下列命題中正確的是d
（a）若ac>bc，則a>bb) 若a2>b2，則a>b
（c）若，則a36. 設x>y>0，則下列各式中正確的是a
（a）x>>>y （b）x>>>y
（c）x>> y > （d）x>> y >
37. 下列每組中兩個函式是同一函式的組數共有d
（1）f(x)=x2+1和f(v)=v2+1和
（３）y=，x∈和y=，x∈ （４）y=1和y=x0
（５）y=和 （6）y=x和
（a）1組 （b）3組 （c）2組 （d）4組
三．解答題：（共5小題，本大題要有必要的過程）
38. （本題8分）已知集合，，且，
求實數的取值範圍。
解：a=[a-1,a+13分
b=(-∞,1)∪(43分
∵，∴ a-1≥1且a+1≤4a∈[2,3] ……2分
39. （本題8分）已知a為非負實數，解關於x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
解：（1）a=0時，原不等式即為-x+1<0，∴原不等式解集為（1，+∞）；…2分
（2）a≠0時，不等式對應方程的兩根為1和。
當01，原不等式解集為(1, )；……2分
當a=1時，=1，，原不等式解集為ф； ……2分
當a>1時， <1原不等式解集為(,1) ……2分
40. （本題10分）先閱讀下列不等式的證法，再解決後面的問題：
已知a1、a2∈r，a1+a2=1，求證：a12+a22≥.
證明：建構函式f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,
f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a12+a22
因為對一切x∈r,恒有f(x)≥0成立，所以δ=4-8(a12+a22)≤0,
從而證得a12+a22≥.
（1）若 a1、a2、…、an∈r，a1+a2+…+an=1，請寫出上述結論的推廣形式；
（2）參考上述解法，對你推廣的結論加以證明。
解：（1）若 a1、a2、…、an∈r，a1+a2+…+an=1，
求證：a12+a22+…+an24分
（2）證明：建構函式f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+ (x-an)2,
f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+a12+a22+…+an2
因為對一切x∈r,恒有f(x)≥0成立，所以δ=4-4n(a12+a22+…+an2)≤0,
從而證得a12+a22+…+an26分
41. （本題12分）某商場在**期間規定：商場內所有商品按標價的80%**；同時，當顧客在該商場內消費滿一定金額後，按如下方案相應獲得第二次優惠：
根據上述**方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠。例如：購買標價為600元的商品，則消費金額為480元，480∈[400,500),所以獲得第二次優惠金額為60元，獲得的優惠總額為：
600×0.2+60=180（元）。
設購買商品的優惠率=。
試問：（1）購買一件標價為1000元的商品，顧客得到的優惠率是多少？
（2）設顧客購買標價為x元（x∈[250,1000]) 的商品獲得的優惠總額為y元,試建立y關於x的函式關係式；
（3）對於標價在[625，800）（元）內的商品，顧客購買商品的標價的取值範圍為多少時，可得到不小於的優惠率？（取值範圍用區間表示）
解：（1）標價為1000元的商品消費金額為800元，獲得獎券130元，優惠額為
330元，所以優惠率為0.334分
（2）y4分
（3）購買標價在[625，800）（元）內的商品，消費金額在[500，640）（元）內。
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