上海交通大學附屬中學2014-2015學年度第二學期
高二數學期中試卷
命題:張余婷審核：楊逸峰
時間：120分鐘滿分：150分
一、填空題（本大題滿分56分）本題共14小題，只要求直接填寫結果，每題填對得4分，否則一律不得分.
1、函式的反函式
2、若複數滿足方程（是虛數單位），則
3、計算
4、函式的定義域是
5、方程在區間內的解是
6、若雙曲線的乙個頂點座標為，焦距為10，則它的標準方程為
7、在極座標系中，過點做圓的切線，則切線的極座標方程是
8、在底面邊長為2的正三稜錐中，是的中點，若
的面積是，則側稜與底面所成角的正切值為
9、如右圖，已知四稜錐的底面是邊長為4的正
方形，平面分別是的
中點，則二面角的正切值為
10、若存在實數滿足，則實數的取值範圍是
11、有一種多面體的飾品，其表面由6個正方形和8個正三角形
組成（如圖），則與所成的角的大小是
12、為求方程的虛根，可以把原方程變形為，小明由此求得原方程的乙個虛根的虛部為（其中為正整數且互質），那麼
13、現有乙個四條稜長為2，兩條稜長為1的三稜錐，其中三組對稜構成了三組異面直線，求這三組異面直線間距離的最大值是
14、已知全集為，，定義集合的特徵函式為，對於，給出下列四個結論：
對任意，有；
對任意，若，則；
對任意，有
對任意，有
其中，正確結論的序號是
二、選擇題:（共四題，每小題5分，共計20分）
15、在空間中，「兩條直線沒有公共點」是「這兩條直線平行
a.充分不必要條件b.必要不充分條件
c.充要條件d.既不充分也不必要條件
16、已知，且，為虛數單位，則的最小值是（ ）
a. 3b.3c.3d.6
17、乙個四稜錐和乙個三稜錐恰好可以拼湊成乙個三稜柱，這個四稜錐的底面為正方形，且底面邊長與各側稜長相等，這個但稜錐的底面邊長與各側稜長也都相等，設四稜錐、三稜錐、四稜柱的高分別是，則（ ）
abcd.
18、在平面直角座標系中，設點，定義，其中為座標原點，對於下列結論：
符合的點的軌跡圍成的面積為2；
設點是直線：任意一點，則；
設點是直線：上任意一點，則「使得最小的點有無數個」的充要條件是 「」；
設點是圓上任意一點，則
其中正確的結論的序號為（ ）
abcd. 、、
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟，每題解答過程寫在該題的答題框內，否則不計分.
19、（本題滿分12分）已知複數滿足（為虛數單位），，求乙個以為根的實係數一元二次方程.
20、（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分
已知正三稜錐的底面邊長為12，側面與地面所成的二面角的大小為
（1）證明：；
（2）求底面中心到側面的距離.
21、（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分
在中，角的對邊分別為，且.
（1）求的值；
（2）若，求面積的最大值.
22、（本題滿分16分）本題共有2小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分9分
某廠根據市場需求開發折疊式小凳（如圖所示）.凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細鋼管.考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設計小凳應滿足：
①凳子高度為，② 三根細鋼管相交處的節點與凳面三角形重心的連線垂直於凳面和地面.
（1）若凳面是邊長為的正三角形，三隻凳腳與地面所成的角均為，確定節點分細鋼管上下兩段的比值（精確到）；
（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長為，節點分細鋼管上下兩段之比為.確定三根細鋼管的長度（精確到）.
23、（本題滿分18分）本題共有2小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分14分，其中滿分3分，滿分4分，滿分7分.
已知拋物線上橫座標為4的點到焦點的距離為5.
（1）求拋物線的方程
（2）設直線與拋物線交於兩點
，且，是
弦的中點，過作平行於軸的直線交拋物線
於點，得到：再分別過弦的中點
作平行於軸的直線依次交拋物線於點，得到
和：按此方法繼續下去.
解決下列問題：
求證：；
計算的面積；
根據的面積的計算結果，寫出的面積：請設計一種求拋物線與線段所圍成封閉圖形面積的方法，並求出次封閉圖形的面積.
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