高三數學
數學i（正題）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．
1、集合，，則
2、某商場在慶元宵**活動中，對元宵節9時至14時的銷售額進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為_____萬元.
3、設，則「」是「」的條件
4、把一顆骰子投擲兩次，第一次出現的點數記為，第二次出現的點數記
為，方程組只有一組解的概率是____．（用最簡分數表示）
5、執行如圖所示的程式框圖，則輸出的的值為
6、把函式y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的圖象向左平移個單位，
所得曲線的一部分如圖所示，則φ的值為
7、在△abc中，若ab=1，ac=，，
則8、若r，且則的最小值等於 ．
9、如圖，在長方體中，，，則三稜錐的體積為 ．
10、已知複數()的模為,則的最大值是
11、已知數列滿足，，則_____．
12、定義在r上的函式滿足，，且當時，，則 ．
13、觀察下列算式：，，
，，若某數按上述規律展開後，發現等式右邊含有「」這個數，則_______．
14、橢圓的左右焦點分別為，若橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值範圍是
二、解答題：本大題共6小題，共90分．
15、（本小題滿分14分）如圖，在四稜錐中，⊥平面，於。
（1）證明：平面⊥平面；
（2）設為線段上一點，若，求證：平面
16、（本小題滿分14分）在△abc中，內角a，b，c的對邊長分別為a，b，c，已知函式滿足：對於任意恆成立．
（1）求角a的大小；
（2）若，求bc邊上的中線am長的取值範圍．
17、（本小題滿分14分）因客流量臨時增大，某鞋店擬用乙個高為50 cm(即ef＝50 cm)的平面鏡自製乙個豎直擺放的簡易鞋鏡．根據經驗，一般顧客ab的眼睛b到地面的距離x(cm)在區間[140，180]內．設支架fg高為h(0＜h＜90) cm，ag＝100 cm，顧客可視的映象範圍為cd(如圖所示)，記cd的長度為y(y＝gd－gc)．
(1) 當h＝40 cm時，試求y關於x的函式關係式和y的最大值；
(2) 當顧客的鞋a在鏡中的像a1滿足不等關係gc＜ga1≤gd(不計鞋長)時，稱顧客可在鏡中看到自己的鞋．若使一般顧客都能在鏡中看到自己的鞋，試求h的取值範圍．
18、（本小題滿分16分） 已知點，
（1）求p的軌跡c的方程；
（2)是否存在過點l與曲線c相交於a，b兩點，並且曲線c存在點q，使四邊形oaqb為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。
19、（本小題滿分16分）設a為實數，函式f(x)=x2+|2x-a|，x∈r．
（1）若函式f(x)為偶函式，求實數a的值；
（2）設，求函式f(x)的最小值；
（3）當時，求函式f(x)的最小值．
20、（本小題滿分16分）定義數列，如果存在常數，使對任意正整數，總有成立，那麼我們稱數列為「擺動數列」．
（1）設，（），，判斷數列、是否為「擺動數列」， 並說明理由；
（2）已知「擺動數列」滿足，，求常數的值；
（3）設，且數列的前項和為，求證：數列是「擺動數列」，並求出常數的取值範圍.
1、 2、 3、必要而不充分條件；4、5、 6、－7、
8、3 9、3 10、 11、2 12、13、 14、
15、 【分析】由提示語「」得到，求得a；再根據餘弦定理表示出中線長（課本例題），由和聯想基本不等式，得到am的取值範圍.
【解答】 （1）由題意，∵對於任意恆成立，
∴的最大值為， 當取得最大值時，，即，
∴，又∵a是三角形的內角，即，∴．
（2）∵am是bc邊上的中線，
∴在△abm中，， ①
在△acm中，， ②
又∵，∴，
①＋②得．
由餘弦定理，
∵，∴，
∴，即．
16、【分析】（1）證明面面垂直找線面垂直；（2）在平面內找到與平行
【解答】（1）因為平面，
平面，又，是平面內的兩條相交直線，
平面而平面，所以平面⊥平面
（2），，和為平面內兩相交直線，平面， 連線，平面
⊥平面，平面，，
又共面又平面，平面，平面
17、【分析】根據題中兩個變元之間的位置關係，需要通過平幾知識建立它們之間的函式關係.再根據函式的型別，採用導數的方法求最值.
【解答】(1) 因為fg＝40，ag＝100，所以由＝，即＝，解得gc＝，
同理，由＝，解得gd＝，(2分)
所以y＝gd－gc＝1 000×＝5 000×，x∈[140，180]．
因為y′＝5 000×＜0，所以y在[140，180]上單調遞減，故當x＝140 cm時，y取得最大值為140 cm.(8分)
(2) 由＝，得gc＝；
由＝，得gd＝，所以由題意知gc a1g = ag≤gd，即＜100≤對x∈[140，180]恆成立．(12分)
從而解得故h的取值範圍是[40，70)．(14分)
【反思】在（1）中若化成，不能使用基本不等式求最值，因為等號成立的條件x=60不在區間[140，180]內。可利用在區間[140，180]上單調遞增，而且，從而y在區間[140，180]上單調遞減得到解決. 本題主要考查函式、導數等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識，考查函式與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想。
18、解：（1）p的軌跡是以mn為焦點，長軸長為的橢圓
所以的軌跡的方程為4分
（2）設，由題意知的斜率一定不為0，故不妨設，代入橢圓方程整理得，
顯然則8分
假設存在點，使得四邊形為平行四邊形，其充要條件為，則點的座標為。由點在橢圓上，即
整理得10分
又在橢圓上，即故……②
將代入由①②解得
即直線的方程是：，即………………………13分
19、【解答】（1）由得，，化簡得。
（2），因為，所以。
則在上單調遞減，在單調遞增。所以的最小值為。
（3），。
①當時，；
②當時，；
③當時，。
20、解：（1）假設數列是「擺動數列」，
即存在常數，總有對任意成立，
不妨取時則，取時則，顯然常數不存在，
所以數列不是「擺動數列2分
由，於是對任意成立，其中.
所以數列是「擺動數列4分
（2）由數列為「擺動數列」， ，
即存在常數，使對任意正整數，總有成立；
即有成立.則，………………6分
所以7分
同理8分
所以，解得即.…9分
同理，解得；即. 綜上.……………11分
（3）證明：由13分
顯然存在，使對任意正整數，總有成立，
所以數列是「擺動數列14分
當為奇數時遞減，所以，只要即可
當為偶數時遞增，，只要即可
綜上，的取值範圍是16分
（取中的任意乙個值，並給予證明均給分）
如取時，
. 因為，，存在，使成立.
所以數列是「擺動數列」.
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