數學2014.4
一、選擇題（本小題共32分，每小題4分）
下面各題均有四個選項，其中只有乙個是符合題意的。
1. 的絕對值是（ ）
abcd.
2. 2023年3月5日，***總理在**工作報告中指出：2023年全國城鎮新增就業人數約13 100 000人，創歷史新高，將數字13 100 000用科學計數法表示為（ ）
a. b. c. d.
3. 由5個相同的正方體組成的幾何體如圖所示，則它的主檢視是（ ）
4. 從1到9這九個自然數中任取乙個，是奇數的概率是（ ）
abcd.
5. 右圖表示一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果輸水管的半徑為，
水面寬為，則水的最大深度為（ ）
abcd.
6. 為了解某小區家庭使用垃圾袋的情況，小亮隨機調查了該小區10戶家庭一周垃圾袋的使用量，結果如
下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（單位：個），關於這組資料下列結論正確的是（ ）
a.極差是6b.眾數是7c.中位數是8 d.平均數是10
7. 已知關於的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值範圍是（ ）
abc.且 d.且
8. 如圖，在平面直角座標系中，以點為頂點任作一直角，使其兩邊分別與軸、軸
的正半軸交於點、，連線，過點作於點，設點的橫座標為，的長為，
則下列圖象中，能表示與的函式關係的圖象大致是（ ）
二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9. 分解因式
10. 寫出乙個只含字母的分式，滿足的取值範圍是，所寫的分式是
11. 如圖，菱形中，，於點，且，連線，則的度
數為度。
12. 如圖，在平面直角座標系中，點，，
正六邊形沿軸正方向無滑動滾動，當點第一次落
在軸上時，點的座標為在運動過程中，點
的縱座標的最大值是 ；保持上述運動過程，經過
的正六邊形的頂點是 。
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13. 計算：
14. 如圖，點、在上，，，。
求證：15. 解不等式組.
16. 已知，求代數式的值。
17. 列方程（組）解應用題：
某校甲、乙給貧困地區捐款購買圖書，每班捐款總數均為1200元，已知甲班比乙班多8人，乙班人均
捐款是甲班人均捐款的倍，求：甲、乙兩班各有多少名學生。
18. 平面直角座標系中，一次函式和反比例函式的圖象都經過點。
（1）求的值和一次函式的表示式；
（2）點在雙曲線上，且位於直線的下方，若點的橫、縱座標都是整數，直接寫出點
的座標。
四、解答題（本題共20分，每小題5分）
19. 如圖，在中，，平分，且.
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若是邊長為的等邊三角形，，相交於點，在上擷取，連線，求
線段的長及四邊形的面積。
20. 以下是根據北京市統計局公布的2010—2023年北京市城鎮居民人均可支配收入和農民人均現金收入的資料繪製的統計圖的一部分：
根據以上資訊，解答下列問題：
（1）2023年農民人均現金收入比2023年城鎮居民人均可支配收入的一半少0.05萬元，則2023年農民人
均現金收入是萬元，請根據以上資訊補全條形統計圖，並標明相應的資料（結果精確到0.1）；
（2）在2010—2023年這四年中，北京市城鎮居民人均可支配收入和農民人均現金收入相差數額最大的年
份是年；
（3）①2011—2023年城鎮居民人均可支配收入的年平均增長率最接近 ；
a.14b.11c.10d.9％
②若2023年城鎮居民人均可支配收入按①中的年平均增長率增長，請**2023年的城鎮居民人均可
支配收入為萬元（結果精確到0.1）。
21. 如圖，在中，，以為直徑作⊙，交於點，連線，過點作⊙的
切線，交延長線於點，交於點。
（1）求證：；
（2）當，時，求及的長。
22. 閱讀下列材料：
問題：在平面直角座標系中，一張矩形紙片按圖1所示放置。已知，，
將這張紙片摺疊，使點落在邊上，記作點，摺痕與邊（含端點）交於點，與邊（含端
點）或其延長線交於點，求點的座標。
小明在解決這個問題時發現：要求點的座標，只要求出線段的長即可，連線，設摺痕所
在直線對應的函式表示式為： ，於是有，，所以在
中，得到，在中，利用等角的三角函式值相等，就可以求出線段的長（如圖
1）請回答：
（1）如圖1，若點的座標為，直接寫出點的座標；
（2）在圖2中，已知點落在邊上的點處，請畫出摺痕所在的直線（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）；
參考小明的做法，解決以下問題：
（3）將矩形沿直線摺疊，求點的座標；
（4）將矩形沿直線摺疊，點在邊上（含端點），直接寫出的取值範圍。
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23. 拋物線與軸交於點，，與軸交於點，其中點的座標為.
（1）求拋物線對應的函式表示式；
（2）將（1）中的拋物線沿對稱軸向上平移，使其頂點落**段上，記該拋物線為，求拋物線
所對應的函式表示式；
（3）將線段平移得到線段（的對應點為，的對應點為），使其經過（2）中所得拋物線
的頂點，且與拋物線另有乙個交點，求點到直線的距離的取值範圍。
24. 四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，，連線，為
的中點，連線，，。
（1）如圖24-1，若點在邊的延長線上，直接寫出與的位置關係及的值；
（2）將圖24-1中的繞點順時針旋轉至圖24-2所示位置，請問（1）中所得的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）將圖24-1中的繞點順時針旋轉（），若，，當，，三
點共線時，求的長及的值。
25. 定義1：在中，若頂點，，按逆時針方向排列，則規定它的面積為「有向面積」；若頂點
，，按順時針方向排列，則規定它的面積的相反數為的「有向面積」。「有向面積」用表示，
例如圖1中，，圖2中，。
定義2：在平面內任取乙個和點（點不在的三邊所在直線上），稱有序陣列（，
，）為點關於的「面積座標」，記作，例如圖3中，菱形
的邊長為2，，則，點關於的「面積座標」為
。在圖3中，我們知道，利用「有向面積」，我們也可以把上式表示為：
。應用新知：
（1）如圖4，正方形的邊長為1，則點關於的「面積座標」是 ；
**發現：
（2）在平面直角座標系中，點，.
①若點是第二象限內任意一點（不在直線上），設點關於的「面積座標」為，
試**與之間有怎樣的數量關係，並說明理由；
②若點是第四象限內任意一點，請直接寫出點關於的「面積座標」（用表示）；
解決問題：
（3）在（2）的條件下，點，，點在拋物線上，求當的值
最小時，點的橫座標。
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