北京市西城區2011—2012學年度第一學期期末試卷（北區）
九年級數學2012.1
一、選擇題（本題共32分，每小題4分）
下面各題均有四個選項，其中只有乙個是符合題意的．
1．拋物線的頂點座標為
a． b． c． d．
2．若相交兩圓的半徑分別為4和7，則它們的圓心距可能是
a．2b．3c． 6d．11
3．在rt△abc中，∠ c＝90°，若bc＝1，ab=，則tana的值為
a． b． cd．2
4．如圖，在⊙o中，直徑ab⊥弦cd於e，連線bd，若∠d=30°，
bd=2，則ae的長為
a．2 b．3
c．4 d．5
5．若正六邊形的邊長等於4，則它的面積等於
a． b． c． d．
6．如圖，以點d為位似中心，作△abc的乙個位似三
角形a1b1c1，a，b，c的對應點分別為a1，b1，c1，
da1與da的比值為k，若兩個三角形的頂點及點d
均在如圖所示的格點上，則k的值和點c1的座標分
別為 a．2b．4，
c．2d．2，
7．如圖，拋物線與x軸交於點，對稱軸為，則下列結論中正確的是
a．b．當時，y隨x的增大而增大
c d．是一元二次方程的乙個根
8．如圖，在平面直角座標系xoy中，，，⊙c的圓
心為點，半徑為1．若d是⊙c上的乙個動點，線段
da與y軸交於點e，則△abe面積的最大值是
a．2b．
cd．二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9．如圖，⊙o是△abc的外接圓，若∠ocb＝40°，則∠a= °．
10．將拋物線先向下平移1個單位長度後，再向右平移1個
單位長度，所得拋物線的解析式是 ．
11．如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，∠b=30°，ab=4 ．以斜
邊ab的中點d為旋轉中心，把△abc按逆時針方向旋轉角
（），當點a的對應點與點c重合時，b，c兩點
的對應點分別記為e，f，ef與ab的交點為g，此時等於
deg的面積為 ．
12．已知二次函式，（1）它的最大值為 ；（2）若存在實數m，n使得當自變數x的取值範圍是m≤x≤n時，函式值y的取值範圍恰好是3m≤y≤3n，則m= ，n= ．
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13．計算：．
14．已知關於的方程有兩個不相等的實數根．
（1）求的取值範圍；
（2）若為符合條件的最大整數，求此時方程的根．
15．已知拋物線.
（1）直接寫出它與x軸、y軸的交點的座標；
（2）用配方法將化成的形式．
16．已知：如圖，在菱形abcd中，e為bc邊上一點，
∠aed=∠b．
（1）求證：△abe∽△dea；
（2）若ab=4，求的值．
17．學校要圍乙個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的牆，另
三邊用總長為36公尺的籬笆恰好圍成（如圖所示）．設矩形
的一邊ab的長為x公尺（要求ab＜ad），矩形abcd 的面
積為s平方公尺．
（1）求s與之間的函式關係式，並直接寫出自變數的取值範圍；
（2）要想使花圃的面積最大，ab邊的長應為多少公尺？
18．如圖，在rt△abc中，，ab的垂直平分線與bc，ab的交點分別為d，e．
（1）若ad=10，，求ac的長和的值；
（2）若ad=1， =，參考（1）的計算過程直接寫
出的值（用和的值表示）．
四、解答題（本題共20分，每小題5分）
19．如圖所示，在平面直角座標系xoy中，正方形的邊長為1，將其沿軸的正方向連續滾動，即先以頂點a為旋轉中心將正方形順時針旋轉90°得到第二個正方形，再以頂點d為旋轉中心將第二個正方形順時針旋轉90°得到第三個正方形，依此方法繼續滾動下去得到第四個正方形，…，第n個正方形．設滾動過程中的點p的座標為．
（1）畫出第三個和第四個正方形的位置，並直接寫出第三個正方形中的點p的座標；
（2）畫出點運動的曲線（0≤≤4），並直接寫出該曲線與軸所圍成區域的面積．
20．已知函式（x ≥ 0），滿足當x =1時，，
且當x = 0與x =4時的函式值相等．
（1）求函式（x ≥ 0）的解析式並畫出它的
圖象（不要求列表）；
（2）若表示自變數x相對應的函式值，且
又已知關於x的方程
有三個不相等的實數根，請利用圖象直接寫出實數k的取值範圍．
21．已知：如圖，ab是⊙o的直徑，ac是弦，∠bac的平分線與
⊙o的交點為d，de⊥ac，與ac的延長線交於點e．
（1）求證：直線de是⊙o的切線；
（2）若oe與ad交於點f，，求的值．
22．閱讀下列材料：
題目：已知實數a，x滿足a＞2且x＞2，試判斷與的大小關係，並加以說明.
思路：可用「求差法」比較兩個數的大小，先列出與的差，再
說明y的符號即可.
現給出如下利用函式解決問題的方法：
簡解：可將y的代數式整理成，要判斷y的符號可借助函式的圖象和性質解決.
參考以上解題思路解決以下問題：
已知a，b，c都是非負數，a＜5，且，．
（1）分別用含a的代數式表示4b，4c；
（2）說明a，b，c之間的大小關係．
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．已知拋物線（其中）．
（1）求該拋物線與x軸的交點座標及頂點座標(可以用含k的代數式表示)；
（2）若記該拋物線的頂點座標為，直接寫出的最小值；
（3）將該拋物線先向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度，隨著的變化，平移後的拋物線的頂點都在某個新函式的圖象上，求這個新函式的解析式（不要求寫自變數的取值範圍）．
24．已知：如圖，正方形abcd的邊長為a，bm，dn分別平分正方形的兩個外角，且滿足
，鏈結mc，nc，mn．
（1）填空：與△abm相似的三角形是用含a的代數式表示）
（2）求的度數；
（3）猜想線段bm，dn和mn之間的等量關係並
證明你的結論．
25．已知：在如圖1所示的平面直角座標系xoy中，a，c兩點的座標分別為，
（其中n＞0），點b在x軸的正半軸上．動點p從點o出發，在四邊形oabc的邊上依次沿o—a—b—c的順序向點c移動，當點p與點c重合時停止運動．設點p移動的路徑的長為l，△poc的面積為s，s與l的函式關係的圖象如圖2所示，其中四邊形odef是等腰梯形．
（1）結合以上資訊及圖2填空：圖2中的m
（2）求b，c兩點的座標及圖2中of的長；
（3）在圖1中，當動點p恰為經過o，b兩點的拋物線w的頂點時，
① 求此拋物線w的解析式；
② 若點q在直線上方的拋物線w上，座標平面內另有一點r，滿足以b，
p，q，r四點為頂點的四邊形是菱形，求點q的座標．
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