1．5.3 定積分的概念
1．了解定積分的概念．
2．會用定義求一些簡單的定積分．
1．定積分的概念： 如果函式f(x)在區間[a，b]上連續，用分點a＝x02．定積分的幾何意義：如果在區間[a，b]上函式f(x)連續且恒有f(x)≥0，那麼定積分f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積．
3．定積分的性質．
(1) kf(x)dx＝kf(x)dx (k為常數)；
(2) [f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3) f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx (其中a＜c＜b)．
想一想：直線x＝0, x＝π，y＝0與曲線y＝sin x所圍成的圖形的面積用積分表示為sin_xdx．
想一想：用定積分表示下圖中陰影部分的面積．
答案：s＝f1(x)dx－f2(x)dx
想一想：定積分x3dx的取值的符號為正， x3dx的取值的符號為負， x3dx的取值的符號為0．
1．當a0，則f(x)dx的值(a)
a．一定是正的
b．一定是負的
c．當0d．正、負都有可能
解析：由定積分的幾何意義知，當a0時， f(x)dx>0.
2．下列等式不成立的是(c)
a. [mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
b. [f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a
c. f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
d. sin xdx＝sin xdx＋sin xdx
解析：利用定積分的性質進行判斷，c不成立．
例如xdx＝， x2dx＝， x3dx＝.
但x3dx≠xdx·x2dx.
3．計算： dx＝(c)
a．8π b．16π c．4π d．32π
解析： dx表示以原點為圓心，半徑為4的圓的面積，∴ dx＝π·42＝4π.
1．定積分f(x)dx的大小(a)
a．與f(x)和積分區間[a，b]有關，與ξi的取法無關
b．與f(x)有關，與區間[a，b]及ξi的取法無關
c．與f(x)及ξi的取法有關，與區間[a，b]無關
d．與f(x)、積分區間[a，b]和ξi的取法都有關
2．下列結論中成立的個數是(c)
①x3dx＝· ②x3dx＝· ③x3dx＝·
a．0 b．1 c．2 d．3
解析：由定積分的定義知，②、③成立，故選c.
3．(2014·高考陝西卷)定積分(2x＋ex)dx的值為(c)
a．e＋2b．e＋1
c．ed．e－1
解析： (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)f0＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e，故選c.
4. dx
解析：積分dx表示如下圖所示的圓的面積的.
所以s＝π(2)2＝π.
答案：π
5．定積分(－3)dx等(a)
a．－6b．6
c．－3d．3
解析： 3dx表示圖中陰影部分的面積s＝3×2＝6， (－3)dx＝－3dx＝－6.故選a.
6．設a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，則a，b，c的大小關係是(b)
a．c＞a＞b
b．a＞b＞c
c．a＝b＞c
d．a＞c＞b
解析：根據定積分的幾何意義，易知x3dx＜x2dx＜xdx，即a＞b＞c，故選b.
7．(2013·天津高二檢測)曲線y＝與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形面積用定積分可表示為
解析：如圖所示，陰影部分的面積可表示為
xdx－dx＝dx
答案： dx
8．設f(x)＝則f(x)dx
解析：∵f(x)＝
∴f(x)dx＝(x＋1)dx＋(－2x＋4)dx.
又由定積分的幾何意義得
(x＋1)dx＝(1＋2)×1＝，
(－2x＋4)dx＝×1×2＝1，
∴f(x)dx＝＋1＝.
答案：9．簡化下列各式，並畫出各題所表示的圖形的面積．
(1) x2dx＋x2dx；
(2) (1－x)dx＋(x－1)dx.
解析：(1)原式＝x2dx，如下圖(1)所示．
(2) (1－x)dx＋(x－1)dx＝|1－x|dx，如圖(2)所示．
10．計算定積分： [－x]dx.
解析： [－x]dx＝dx－xdx，
令s1＝dx，
s2＝xdx.
s1、s2的幾何意義如圖(1)、(2)所示．
對s1＝dx，
令y＝≥0，
則(x－1)2＋y2＝1(0≤x≤1，y≥0)
由定積分幾何意義知
s1＝dx＝π×12＝.
對於s2＝xdx，由其幾何意義知s2＝×1×1＝，故[－x]dx＝s1－s2＝－＝.
高中數學概念總結
一 函式 1 若集合a中有n個元素，則集合a的所有不同的子集個數為，所有非空真子集的個數是。二次函式的圖象的對稱軸方程是，頂點座標是。用待定係數法求二次函式的解析式時，解析式的設法有三種形式，即，和 頂點式 2 冪函式，當n為正奇數，m為正偶數，m3 函式的大致圖象是 由圖象知，函式的值域是，單調遞...
高中數學如何引入概念
題目高中數學實驗教學初探 區縣薊縣 學校下倉中學 學段及學科高中數學 姓名陳少儉 申報級別縣級 高中數學教學中如何引入概念 長期以來，由於考試的影響，很多教師在教學中只重視解題 而忽視了概念，造成數學概念與解題脫節的現象。有些教師認為概念教學就是對概念作解釋，只要求學生記憶，沒有對概念進行深入地了解...
高中數學概念課的教學感悟
作者 周樂 新課程 教研版 2011年第04期 數學概念是構建數學理論大廈的基石，是匯出數學定理和數學法則的前提，是數學學科的靈魂和精髓。因此，概念教學是 雙基 教學的重要組成部分。高中數學概念多數都與解題有著緊密的聯絡，比如函式中有許多題目要用到單調性 奇偶性的概念，利用定義求空間角等等。如果掌握...